Kvanttimekaaninen atomimalli

Bohrin atomimallin jälkeen Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born sekä Nils Bohr jatkoivat uuden atomimallin kehittämistä, joka selittäisi siirtymämetallien elektronikonfiguraation. Kvanttimekaaninen atomimalli on edelleen käytössä oleva malli. Se perustuu kvanttiteoriaa, jonka mukaan ainetta koostavia hiukkasia (kuten elektronien), voidaan mallintaa aaltoina. Elektroneilla on tietty liike-energia, joka ilmenee aaltomuodossa. Kvanttiluvut tulivat käyttöön 1920-luvulla, kun kvanttiteoria alkoi saada muotoaan.

Ajasta riippumaton Schrödingerin aaltoyhtälö yhdelle elektronille kolmessa ulottuvuudessa

$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(x,y,z)\right)\psi(x,y,z) = E\psi(x,y,z)$, jossa

$\psi(x,y,z)$ on aaltofunktio, $V(x,y,z)$ potentiaalifunktio, $m$ elektronin massa, $\hbar$ Planckin vakio ja $E$ energia. $\nabla^2$ on Laplacen operaattori kolmessa ulottuvuudessa, joka voidaan ilmaista seuraavasti:

$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$

Kvanttimekaanisessa atomimallissa elektronit sijatsevat ns. orbitaaleilla. Elektronit eivät siis liiku tiettyä rataa pitkin, kuten Bohrin atomimallissa, sillä niiden tarkkaa sijaintia ei voida ennustaa. Orbitaali kuvaakin matemaattista todennäköisyysaluetta, jossa tietyllä energiatasolla oleva elektroni sijaitsee. Jokainen Bohrin atomimallia vastaava elektronikuori jaetaan useisiin energiatasoihin eli $s, p, d \ \text{ja} \ f$ -orbitaaleihin. Ensimmäinen K-kuori vastaa yhtä 1s-orbitaalia ja toinen L-kuori vastaa yhtä 2s- ja kolmea 2p-orbitaalia. Tätä korkeammat energiatasot (elektronikuoret M, N jne.) voivat jakautua useisiin energiatasoihin, joissa on s-orbitaalin ja kolmen p-orbitaalin lisäksi viisi d-orbitaalia ja seitsemän f-orbitaalia.

<img src="../images/orbitaalit_jaksollisessa.png" alt="Atomien orbitaalien määräytyminen jaksollisessa järjestelmässä." class="bg-primary mb-1" width="1255px" align="center">

Atomien orbitaalit jaksollisessa järjestelmässä

<img src="../images/orbitaalit.png" alt="Atomien orbitaaleja eri kvanttilukuyhdistelmillä." class="bg-primary mb-1" width="1315px" align="center">

Atomien orbitaalien muotoja eri kvanttilukuyhdistelmillä. lähde: <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital" target="_blank">Wikipedia</a>

Elektronien täyttyminen orbitaaleille¶

• Minimienergiaperiaatteen mukaan elektronit täyttyvät kaikken matalaenergisimmille orbitaaleille.

• Yhdelle orbitaalille mahtuu enintään kaksi elektronia.

• Hundin sääntö: elektronit täyttyvät orbitaaleille yhdellä elektronilla samansuuntaisin spinein (spin-kvanttiluku) mahdollisimman pitkään.

• Paulin kieltosääntö: samassa kvanttitilassa ei voi olla kuin yksi elektroni. Täten samalla orbitaalilla olevilla elektroneilla on vastakkaiset spin-kvanttiluvut.

Elektronien täyttyminen orbitaaleille voidaan käytännössä tiiviistää seuraavaan kuvaan.

<img src="../images/orbitaalien_taytto.png" alt="Elektronien täyttyminen orbitaaleille taulukon muodossa." class="bg-primary mb-1" width="300px" align="center">

Elektronien täyttyminen orbitaaleille

Kvanttiluvut¶

Kvanttimekaanisessa atomimallissa käytetään neljää kvanttilukua, jotka kertovat elektronin sijainnista ja energiatilasta atomissa. Nämä kvanttiluvut ovat pääkvanttiluku (n), sivukvanttiluku (l), magneettinen kvanttiluku (m) ja spin-kvanttiluku (s).

• Pääkvanttiluku $(n = 1, 2, 3, 4, \dots)$ kertoo elektronin etäisyyden ytimeen. Mitä suurempi pääkvanttiluku on, sitä kauempana elektroni on ytimen keskipisteestä ja sitä suurempi sen energia on. Pääkvanttiluvut vastaavat Bohrin atomimallin elektronikuoria $K, L, M, N \cdots$.

• Sivukvanttiluku $(l = 0, \dots , n-1)$ määrää elektronin liikemäärän suunnan. Se kertoo myös, kuinka monta erilaista muotoa orbitaalilla voi olla. Sivukvanttiluvun arvoja vastaavat orbitaalit $s, p, d \ \text{ja} \ f$ vastaavasti.

• Magneettinen kvanttiluku $(m= 0, \pm 1, \dots , \pm l)$ kertoo elektronin liikemäärän suunnan avaruudessa.

• Spin-kvanttiluku $(s=\pm \frac{1}{2})$ kertoo elektronin pyörimisliikkeestä oman akseliansa ympäri. Elektronit voivat pyöriä joko “ylös-” tai “alaspäin”, joten spin-kvanttiluku on aina $\frac{1}{2}$ tai $-\frac{1}{2}$.

Eli toiselle kuorelle mahtuu enintään 8 elektronia $(2n^2=2 \cdot 2^2=8)$.