Eri tyyppiset differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöistä on olemassa muutamaa erilaista tyyppiä, jotka on helppoa tai ainakin mahdollista ratkaista itse laskemalla:

• “perustyyppi” eli integroituva differentiaaliyhtälö

• separoituva differentiaaliyhtälö

• lineaarinen differentiaaliyhtälö

  • homogeeninen differentiaaliyhtälö

  • vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö

Erityyppisten yhtälöiden ratkaisumenetelmiin perehdytään seuraavissa luvuissa. On olemassa sellaisiakin differentiaaliyhtälöitä, joita ei voi ratkaista analyyttisesti. Tällöin funktiolle \(y(x)\) ei ole mahdollista johtaa lauseketta, ja laskun lopputuloksena on likiarvo eikä tarkka arvo. Opintojaksolla perehdytään erilaisiin numeerisiin menetelmiin, joilla tällaisia ratkaisuja voi etsiä.

Perustyyppi ratkeaa integroimalla

Yksinkertaisimmillaan differentiaaliyhtälön toisella puolella on etsittävän funktion \(y(x)\) derivaatta \(y'(x)\) ja toisella puolella pelkästään muuttujasta ja vakioista koostuva lauseke, jota voidaan merkitä \(f(x)\). Tällöin funktio \(y(x)\) saadaan selville integroimalla, siis \(y(x)=\int f(x) \,dx +C\).

Tällaista yhtälöä kutsutaan differentiaaliyhtälön perustapaukseksi. Toinen nimitys on integroituva differentiaaliyhtälö. Yhtälössä esiintyy siis vain funktion \(y(x)\) derivaatta, ei itse funktiota \(y(x)\).

Integroimalla saadaan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. Jos halutaan yksittäinen ratkaisu, pitää tietää jokin ehto \(y(x_0)=y_0\).

Esimerkki

Etsi differentiaaliyhtälölle \(y'=4x\)

a) yleinen ratkaisu,

b) yksittäisratkaisu, joka toteuttaa ehdon \(y(1)=8\).

Ratkaisu

a) Integroidaan: \(y(x)=\int 4x \,dx +C = 2x^2 + C\)

b) Ratkaistaan vakio \(C\) yhtälöstä \(2\cdot 1^2+C=8 \leftrightarrow C=8-6 \leftrightarrow C=6\). Kysytty yksittäisratkaisu on siis \(y=2x^2+6\).

Esimerkki

Kappaleen nopeus \(v\) noudattaa ajan \(t\) suhteen yhtälöä \(v(t)=5~\frac{\text{m}}{\text{s}}+0.1 ~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} t\). Hetkellä \(t=0\) s kappaleen sijainti oli \(x=10\) m. Nopeus on sijainnin derivaatta. Millä funktiolla kappaleen sijaintia ajan funktiona voidaan yleisesti kuvata?

Ratkaisu

Tiedetään, että \(x'(t)=v(t)\). Näin ollen \(x(t)=\int v(t)~dt + C\). Suoritaan integrointi (suureiden yksiköt on jätetty pois yksinkertaisuuden vuoksi):

\(x(t)=\int 5+0.1t \,dt + C\)

\(x(t)=5t+0.05t^2+C\)

Vakion \(C\) arvo saadaan selville ehdosta \(x(0)=10\), siis

\(5\cdot 0 + 0.05\cdot 0^2+C=10 \Leftrightarrow C=10\).

Kappaleen sijaintia kuvaa siis funktio \(x(t)=5t+0.05t^2+10\).

Integroituvassa differentiaaliyhtälössä voi esiintyä myös toista derivaattaa \(y''\). Jos tällöin halutaan selville yksittäisratkaisu, pitää tietää ehdon \(y(x_0)=y_0\) lisäksi jokin toinen ehto \(y'(x_1)=y_1'\). Kaksi ehtoa tarvitaan, koska ratkaisu tapahtuu kaksi kertaa peräkkäin integroimalla. Ensimmäisellä integroinnilla saadaan toisesta derivaatasta \(y''\) selville derivaatta \(y'\), ja toisella integroinnilla funktio \(y'\). Kummastakin integroinnista tulee mukaan oma vakionsa.

Toista derivaattaa sisältävän differentiaaliyhtälön ratkaisu onnistuu suoraviivaisesti integroimalla kahteen kertaan vain, jos yhtälössä ei esiinny derivaattaa \(y'\) eikä itse funktiota \(y\). Muulloin kyseessä ei ole integroituva differentiaaliyhtälö, vaan yleisempi toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Näitä hankalampia tapauksia käsitellään luvussa “Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt”.

Esimerkki

Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'=2x+3\) ehdolla \(y(1)=6\).

Ratkaisu

Integroimalla saadaan yleinen ratkaisu:

\(y=\int 2x+3 \,dx+C=x^2+3x+C\)

Selvitetään vakio \(C\) yhtälöstä \(y(1)=6\):

\(1^2+3\cdot 1 + C = 6 \Leftrightarrow C=6-1-3 \Leftrightarrow C=2\)

Yksittäisratkaisu on siis \(y=x^2+3x+2\).

Esimerkki

Ratkaise yhtälö \(y''=x^3+x\), kun tiedetään, että \(y(1)=3\) ja \(y'(0)=4\).

Ratkaisu

Derivaatta \(y'\) saadaan selville integroimalla \(y''\). Merkitään tästä integroinnista saatavaa vakiota \(C_1\).

\(y'=\int x^3 + x \,dx+C_1\)

\(y'=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2 + C_1\)

Selvitetään vakion \(C_1\) arvo ehdosta \(y'(0)=4\):

\(\frac{1}{4}\cdot 0^4+\frac{1}{2}\cdot 0^2 + C_1 = 4 \Leftrightarrow C_1=4\)

Derivaatta on siis \(y'=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2 + 4\). Näin muodostunut ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä ratkeaa jälleen integroimalla. Vakiota on nyt merkitty \(C_2\).

\(y=\int \frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2 + 4 \,dx + C_2\)

\(y=\frac{1}{4\cdot 5} x^5 + \frac{1}{2\cdot 3} x^3 + 4x + C_2\)

\(y=\frac{1}{20} x^5 + \frac{1}{6} x^3 + 4x + C_2\)

Ratkaistaan vielä vakio \(C_2\) yhtälöstä \(y(1)=3\):

\(\frac{1}{20} \cdot 1^5 + \frac{1}{6} \cdot 1^3 + 4\cdot 1 + C_2 = 3\)

\(\frac{1}{20} + \frac{1}{6} + 4+ C_2 = 3\)

\(C_2=3-4-\frac{1}{20}-\frac{1}{6}\)

\(C_2=-\frac{73}{60}\)

Ehdot toteuttava yksittäisratkaisu on siis \(y=\frac{1}{20} x^5 + \frac{1}{6} x^3 + 4x-\frac{73}{60}\).