Ratkaisu yritteellä

Lineaariselle ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälölle esitetyt ratkaisukaava sisältävät integraalifunktioita, jotka voivat olla hankalia laskea. Vakiokertoimiselle differentiaaliyhtälölle, joka siis on muotoa \(y'=ay+g(x)\), on mahdollista löytää ratkaisu myös ikään kuin arvaamalla. Valitaan siis jokin funktio, jonka arvellaan toteuttavan yhtälön, ja hienosäädetään funktion parametrejä laskemalla. Arvattua funktiota kutsutaan yritteeksi.

Ratkaisun periaate

Olkoon \(y_h=Ce^{ax}\) homogeenisen yhtälön \(y'= ay\) yleinen ratkaisu. Etsitään täydelliselle yhtälölle \(y'=ay+g(x)\) yritteen avulla jokin yksittäisratkaisu \(y_t\). Täydellisen yhtälön \(y'=ay+g(x)\) ratkaisu saadaan muodossa \(y_h+y_t\). Ratkaisun resepti on siis seuraava:

• Selvitä, mikä osa differentiaaliyhtälöstä muodostaa homogeenisen yhtälön

• Laske homogeenisen yhtälön ratkaisu \(y_h\)

• Muodosta yritefunktio \(y_t\) alla olevien ohjeiden mukaan

• Sijoita funktio \(y=y_h + y_t\) ja sen derivaatta \(y'=y_h'+y_t'\) alkuperäiseen differentiaaliyhtälöön

Yritteet

Yritettä ei tarvitse joka ongelmassa arvata erikseen. Yritteen valinta perustuu funktion \(g(x)\) muotoon. Apua löytyy seuraavasta taulukosta:

\(g(x)\)	Yrite
vakio	\(A\)
polynomi \(a+bx+cx^2+ \ldots\)	saman asteluvun polynomi \(A+Bx+Cx^2+\ldots\)
\(e^{ax}\)	\(Ae^{ax}\)
\(\sin{ax}\) tai \(\cos{ax}\)	\(A \sin{ax} + B \cos{ax}\)

Lisäksi jos funktio \(g(x)\) muodostuu taulukossa mainittujen funktioiden summasta tai tulosta, niin vastaavasti yritefunktio on samoja funktioita vastaavien yritefunktioiden summa tai tulo.

Taulukossa tuntemattomia ovat kertoimet \(A, B, \ldots\). Niille löydetään sopivat arvot sijoittamalla yritefunktio ja sen derivaatta differentiaaliyhtälöön ja tutkimalla alkuehtoja.

Esimerkki

Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'-4y=5x\).

Ratkaisu

Differentiaaliyhtälö voidaan muokata muotoon \(y'=4y+5x\) eli kyseessä on epähomogeeninen, vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö.

Ratkaistaan ensin vastaava homogeeninen differentiaaliyhtälö \(y'=4y\). Tälle löytyy ratkaisu \(y(x)=Ce^{4x}\). Kyseessä on nyt ratkaisu \(y_h\).

Etsitään sitten ratkaisu \(y_t\) taulukon avulla. Nyt funktio \(g(x)\) on polynomi \(5x\), joten sopiva yrite on ensimmäisen asteen polynomi \(y_t=A+Bx\). Huomaa, että vaikka funktiossa \(g(x)\) ei ole vakiotermiä (se on siis muotoa \(5x+0\)), täytyy vakiotermi ottaa mukaan yritteeseen.

Sijoitetaan yritefunktio \(y_t\) ja sen derivaatta \(y_t'=B\) alkuperäiseen yhtälöön:

\(y'-4y=5x\)

\(B-4(A+Bx)=5x\)

\(B-4A-4Bx=5x\)

Sekä muuttujan \(x\) kertoimen että vakiotermin tulee olla yhtälön molemmilla puolilla samat. Ratkaistaan siis yhtälöpari:

\(\begin{equation} \begin{cases} B-4A = 0 \\ -4B=5 \end{cases} \end{equation}\)

Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan suoraan \(B=-\frac{5}{4}\).

Sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan \(-\frac{5}{4}-4A=0\), josta ratkeaa \(A=-\frac{5}{16}\).

Yritteen perusteella saatu ratkaisu on siis \(y_t=-\frac{5}{16}-\frac{5}{4}x\).

Yhtälön täydellinen ratkaisu on \(y=y_h+y_t=Ce^{4x}-\frac{5}{4}x-\frac{5}{16}\).

Esimerkki

Ratkaise differentiaaliyhtälö \(y'+y=-2+t+5e^{3t}\).

Ratkaisu

Ratkaistaan ensin homogeeninen yhtälö \(y'=-y\). Ratkaisukaavan mukaan ratkaisu tälle on \(y_h=C_1e^{-t}\).

Muodostetaan yrite funktion \(g(t)=-2+t+5e^{3t}\) avulla. Termit \(2+t\) muodostavat ensimmäisen asteen polynomifunktion, joten yritteeseen tulee osa \(A+Bt\). Viimeistä termiä vastaava yritefunktio on \(Ce^{3t}\). Yritteeksi sopii siis \(A+Bt+Ce^{3t}\). Funktion derivaatta on \(B+3Ce^{3t}\). Sijoitetaan nämä alkuperäiseen yhtälöön ja sievennetään:

\(B+3Ce^{3t}+A+Bt+Ce^{3t}=-2+t+5e^{3t}\)

\(A+B + Bt + 4Ce^{3t} = -2+t+5e^{3t}\)

Muodostetaan yhtälöryhmä:

\(\begin{equation} \begin{cases} A+B=-2 \\ B=1 \\ 4C=5 \end{cases} \end{equation}\)

Toisesta yhtälöstä saadaan heti \(B=1\) ja kolmannesta yhtälöstä \(C=\frac{5}{4}\).

Ensimmäisestä yhtälöstä ratkeaa jo tiedossa olevan \(B\):n avulla \(A=-2-1=-3\).

Differentiaaliyhtälön ratkaisu on siis \(y=y_h+y_t=C_1e^{-t}+\frac{5}{4}e^{3t}+t-3\).