Lineaarinen differentiaaliyhtälö
Contents
Lineaarinen differentiaaliyhtälö#
Lineaariseksi differentiaaliyhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muodossa \(y'=fy+g\), missä \(f=f(x)\) ja \(g=g(x)\) ovat muuttujasta \(x\) riippuvia tai vakioarvoisia funktioita.
Esimerkkejä:
\(y'=3x^2 y+2x\) on lineaarinen differentiaaliyhtälö, jossa \(f(x)=3x^2\) ja \(g(x)=2x\)
\(y'=-2xy+4\) on lineaarinen differentiaaliyhtälö, jossa \(f(x)=-2x\) ja \(g(x)=4\)
\(y'=2y\) on lineaarinen differentiaaliyhtälö, jossa \(f(x)=2\) ja \(g(x)=0\)
Lineaarinen differentiaaliyhtälö on
homogeeninen, jos \(g(x)=0\),
vakiokertoiminen, jos \(f(x)\) on vakio.
Yhtälö voi olla joko homogeeninen tai vakiokertoiminen, molempia yhtä aikaa, tai ei kumpaakaan.
Esimerkki
Ovatko seuraavat differentiaaliyhtälöt homogeenisia, vakiokertoimisia, kumpaakin vai ei kumpaakaan?
a) \(y'=2xy\), b) \(2y+3\), c) \(y'=4xy+6\), d) \(y'=7y\)
Ratkaisu
a) On homogeeninen, mutta ei vakiokertoiminen. Tässä tapauksessa \(g(x)=0\) ja \(f(x)=2x\).
b) Ei ole homogeeninen, mutta on vakiokertoiminen. Tässä tapauksessa \(g(x)=3\) ja \(f(x)=2\).
c) Ei ole kumpaakaan. Funktiot ovat \(g(x)=6\) ja \(f(x)=4x\).
d) On kumpaakin. Funktiot ovat \(g(x)=0\) ja \(f(y)=y\). Tämä differentiaaliyhtälö on myös separoituva!
Yleinen ratkaisu#
Lineaariselle differentiaaliyhtälölle, jonka ei tarvitse olla homogeeninen eikä vakiokertoiminen (mutta se voi olla kumpaa tahansa tai molempia), voidaan johtaa suoraan ratkaisukaava:
\(y(x)=e^{F(x)}\left(\int e^{-F(x)}g(x) \,dx + C \right)\), missä
\(F(x) = \int f(x) \,dx \) on funktion \(f(x)\) integraalifunktio.
Perustelu
Derivoidaan edellä annettu laskukaava:
\(y'(x)=D\left(e^{F(x)}\right)\cdot \left(\int e^{-F(x)}g(x) \,dx + C \right) + \left(e^{F(x)}\right) \cdot D\left(\int e^{-F(x)}g(x) \,dx + C \right)\)
\(= e^{F(x)} D\left(F(x)\right)\cdot \left(\int e^{-F(x)}g(x) \,dx + C \right) + e^{F(x)}\cdot e^{-F(x)} g(x)\)
\(= f(x)\cdot e^{F(x)} \left(\int e^{-F(x)}g(x) \,dx + C \right) + g(x)\)
\(=f(x)y(x)+g(x)\).
Esimerkki
Ratkaise yhtälö \(y'=2xy+3x\).
Ratkaisu
Tunnistetaan lausekkeesta funktiot \(f(x)=2x\) ja \(g(x)=3x\). Lasketaan ensin funktion \(f(x)\) integraalifunktio
\(F(x)=\int 2x \,dx = x^2\)
ja tehdään sitten tarvittavat sijoitukset ratkaisukaavaan:
\(y(x)=e^{x^2}\left(\int e^{-x^2} 3x \,dx + C \right)\)
Koska \(\int e^{-x^2} 3x \,dx = -\frac{3}{2}e^{-x^2}\), ratkaisuksi saadaan
\(y(x)=-\frac{3}{2}e^{x^2}e^{-x^2}+Ce^{x^2}\) joka sievenee muotoon \(-\frac{3}{2}+Ce^{x^2}\).
Homogeeninen lineaarinen yhtälö#
Jos \(g(x)=0\), niin lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa \(y'=fy\). Tällöin yhtälö voidaan ratkaista yllä esitetyllä ratkaisukaavalla, joka sievenee muotoon \(y(x)=C e^{F(x)}\).
Ratkaisussa voi myös käyttää samoja menetelmiä kuin separoituvien differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa. Yhtälöhän on mahdollista esittää myös muodossa \(\frac{ \,dy}{ \,dx}=f(x) y\) eli \(\frac{1}{y} \,dy = f(x) \,dx\).
Esimerkki
Ratkaise yhtälö \(y'=3xy\).
Ratkaisu
Tunnistetaan yhtälöstä \(f(x)=3x\). Ratkaisukaavaan tarvittava integraalifunktio on \(F(x)=\int 3x \,dx = \frac{3}{2}x^2\).
Ratkaisukaavaan sijoittamalla saadaan \(y(x)=Ce^{\frac{3}{2}x^2}\).
Vakiokertoiminen lineaarinen yhtälö#
Vakiokertoimisessa lineaarisessa differentiaaliyhtälössä kerroinfunktio \(f(x)\) on vakio. Vakiofunktion \(f(x)=a\) integraalifunktio on \(F(x)=ax\), joten ratkaisukaava sievenee muotoon
\(y(x)=e^{ax}\left(\int e^{-ax} g(x) \,dx + C \right)\).
Esimerkki
Ratkaise yhtälö \(y'=2y+3x\).
Ratkaisu
Tässä yhtälössä \(f(x)=2\), \(a=2\) ja \(g(x)=3x\), joten ratkaisuksi saadaan
\(y(x)=e^{2x}\left(\int e^{-2x} 3x \,dx + C \right)\).
Integraalin \(\int e^{-2x} 3x \,dx\) tulokseksi saadaan (WolframAlphalla) \(-\frac{3}{4} e^{-2 x} (1 + 2 x)\), joten differentiaaliyhtälön ratkaisuksi muodostuu
\(y(x)=e^{2x}\left(-\frac{3}{4} e^{-2x} (1 + 2 x) + C \right) = -\frac{3}{4}(1+2x)+Ce^{2x}\).
Esimerkki
Ratkaise yhtälö \(y'=5y\).
Ratkaisu
Yhtälö on sekä homogeeninen että vakiokertominen. Tunnistetaan yhtälöstä: \(f(x)=5\), \(F(x)=5x\), \(g(x)=0\). Sijoitetaan nämä ratkaisukaavaan
\(y(x)=e^{F(x)}\left(\int e^{-F(x)}g(x) \,dx + C \right)\)
\(y(x)=e^{5x}\left(\int e^{-5x}\cdot 0 \,dx + C \right) = Ce^{5x}\).
Toisaalta yhtälö on myös separoituva:
\(\frac{ \,dy}{\,dx}=5y\)
\(\frac{1}{y} \,dy=5~ \,dx\)
\(\int \frac{1}{y} \,dy=\int 5 \,dx\)
\(\ln{y} = 5x+C\)
\(y=e^{5x+C}\)
\(y=e^C e^{5x}\)
\(y=C_1 e^{5x}\).