Yhtälöryhmät matriisimuodossa#

Matriisilaskenta on tehokas menetelmä ratkaista yhtälöryhmiä. Voit kerrata Lineaarialgebran oppikirjasta, kuinka yhtälöryhmä muutetaan matriisiyhtälöksi ja ratkaistaan. Alta löytyy lyhyt tiivistelmä aiheesta.

Lyhyt kertaus

Yhtälöryhmää

\(\begin{equation} \begin{cases} a_{11} x_1+a_{12} x_2+ \ldots +a_{1n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots +a_{2n} x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1+a_{m2} x_2+ \ldots +a_{mn} x_n=b_m \end{cases} \end{equation}\)

vastaavat matriisiyhtälössä \(AX=B\) matriisit

\(A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}& \ldots &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}& \ldots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}&a_{m2}& \ldots &a_{mn}\end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}\) ja \(B=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{bmatrix}\)

ja tuntemattomat sisältä matriisi \(X\) saadaan tästä selville laskemalla \(X=A^{-1}B\), mikäli käänteismatriisi \(A^{-1}\) on olemassa.

Differentiaaliyhtälöryhmissä on yhtälöitä, joissa tuntemattomina ovat funktiot \(x_1(t), x_2(t), \dots\) ja lisäksi yhtälöissä esiintyy näiden funktioiden derivaattoja \(x_1'(t), x_2'(t), \dots\). Oletaan, että derivaatat voidaan esittää funktioiden avulla, eli esimerkiksi \(x_1'=f(x_1, x_2, \dots)\) ja tarkemmin lineaarikombinaationa \(x_1'= a_1 x_1'+a_2 x_2' + \dots\), missä \(a_1, a_2 \dots\) ovat reaalilukuja. Tietyn funktion derivaatta ei kuitenkaan riipu minkään muun funktion derivaatasta!

Tällöin voidaan muodostaa seuraavat matriisit:

  • funktioiden kertoimia sisältävä matriisi \(A\), johon kerätään 1. riville 1. yhtälön kertoimet, 2. riville 2. yhtälön kertoimet jne.

  • derivaatat sisältävä matriisi \(X'=\begin{bmatrix} x_1' \\ x_2' \\ \vdots\end{bmatrix}\)

  • funktiot sisältävä matriisi \(X=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\end{bmatrix}\)

Matriisimuodossa yhtälö on tällöin \(X'=AX\).

Esimerkki

Muodosta kerroinmatriisi \(A\) yhtälöryhmälle

a) \(\begin{equation} \begin{cases} x_1'=2x_1-2x_2 \\ x_2'=-x_1+3x_2 \end{cases} \end{equation}\)

b) \(\begin{equation} \begin{cases} 4 x_1 + 2x_1'+6 x_2=0 \\ x_2'+3x_1=x_2 \end{cases} \end{equation}\)

Ratkaisu

a) Yhtälöryhmän \(\begin{equation} \begin{cases} x_1'=2x_1-2x_2 \\ x_2'=-x_1+3x_2 \end{cases} \end{equation}\) kertoimista saadaan kerroinmatriisi \(A\):

\(A=\begin{bmatrix}2 & -2 \\ -1 & 3\end{bmatrix}\)

b) Järjestetään yhtälön termejä uudelleen, jolloin yhtälöryhmäksi saadaan:

\(\begin{equation} \begin{cases} 2x_1'=-4x_1-6x_2 \\ x_2'=-3x_1+x_2 \end{cases} \end{equation}\)

Ylempi yhtälö pitää vielä jakaa puolittain luvulla 2, jotta vasemmalle puolelle saadaan pelkkä \(x_1'\):

\(\begin{equation} \begin{cases} x_1'=-2x_1-3x_2 \\ x_2'=-3x_1+x_2 \end{cases} \end{equation}\)

Nyt kerroinmatriisiksi saadaan

\(A=\begin{bmatrix}-2 & -3 \\ -3 & 1\end{bmatrix}\)

Ratkaisun periaate#

Aiemmin on opittu, että yleisesti differentiaaliyhtälön \(x'=ax\) ratkaisu on \(x(t)=ce^{at}\). Tällöin voidaan olettaa, että matriisiyhtälöllä \(X'=AX\) on ratkaisu \(X=\vec{\eta} e^{\lambda t}\), missä vektori \(\vec{\eta}\) sisältää kertoimet \(c_1, c_2, \dots\) eli

\(\vec{\eta}=\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots\end{bmatrix}\)

Huom! Voitaisiin merkitä myös \(\eta\) ilman vektorimerkkinä, matriisina. Tässä tapauksessa kuitenkin kyseessä on olio nimeltä ominaisvektori, joten merkitään sitä vektorina.

Ratkaisun \(X=\vec{\eta} e^{\lambda t}\) derivaatta on \(X'=\vec{\eta}\lambda e^{\lambda t}\). Derivaattamatriisi on muodostettu ikään kuin laskettaisiin vektorin \(\vec{\eta} e^{\lambda t}\) alkioiden derivaattoja normaalien derivointisääntöjen mukaan yksitellen.

Sijoittamalla edellä määritellyt \(X'\) ja \(X\) yhtälöön \(X'=AX\) saadaan yhtälö: \(\vec{\eta}\lambda e^{\lambda t}=A \vec{\eta}e^{\lambda t}\)

Vaihdetaan puolet keskenään ja järjestellään termejä: \(A \vec{\eta}e^{\lambda t}=\lambda \vec{\eta} e^{\lambda t}\)

Jaetaan molemmat puolet lausekkeella \(e^{\lambda t}\) (se ei koskaan saa arvoa nolla): \(A \vec{\eta}=\lambda\vec{\eta}\)

Kyseinen yhtälö on matriisin \(A\) ominaisarvoyhtälö. Luku \(\lambda\) on matriisin \(A\) ominaisarvo, ja vektori \(\vec{\eta}\) on matriisin \(A\) ominaisvektori.

Ratkaisujen muodostaminen#

Ominaisarvoyhtälön ratkaisu on esitetty Lineaarialgebran oppimateriaalissa. Lyhyesti sanottuna ominaisarvot lasketaan ratkaisemalla yhtälö \(\det{(A-\lambda I)} = 0\) ja tämän jälkeen ominaisvektorit yhtälöstä \(A \vec{\eta}=\lambda\vec{\eta}\). Jos olet parhaillaan differentiaaliyhtälöiden opintojaksolla, ei huolta - opettelemme menetelmän tunnilla sitten kun se on ajankohtaista.

Ratkaisu tietokoneella

Ominaisarvot ja ominaisvektorit voi laskea myös tietokoneella. Octavella komento on seuraavaa muotoa:

[ov,oa]=eig(A)

  • ov on matriisi, jonka sarakkeissa on ominaisvektorit

  • oa on matriisi, jonka lävistäjällä ovat ominaisarvot

Esimerkiksi komennolla [ov,ov]=eig([1,2;3,0]) saadaan seuraava tulos:

ov = [0.7071 -0.5547;0.7071 0.8321]

oa = [3 0;0 -2]

Tulos tarkoittaa seuraavaa:

  • matriisilla on ominaisarvo \(\lambda_1=3\) ja sitä vastaa ominaisvektori \(\vec{\eta_1}=\begin{bmatrix} 0.707 \\ 0.707\end{bmatrix}\)

  • matriisilla on myös ominaisarvo \(\lambda_2=-2\) ja sitä vastaa ominaisvektori \(\vec{\eta_2}=\begin{bmatrix} -0.5547 \\ 0.8321\end{bmatrix}\)

Ominaisvektorien luvut ovat pyöristettyjä eivätkä tarkkoja arvoja. Käsin laskemalla saataisiin tarkat arvot. Octave skaalaa ominaisvektorit siten, että niiden itseisarvo on yksi. Jokaista ominaisarvoa vastaa itse asiassa äärettömän monta ominaisvektoria; ne ovat yhdensuuntaisia, mutta eri pituisia vektoreita.

Ominaisarvojen \(\lambda_1, \lambda_2, \dots\) ja ominaisvektorien \(\vec{\eta_1}, \vec{\eta_2}, \dots\) avulla voidaan nyt ilmaista differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu seuraavasti:

\(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\end{bmatrix} = c_1 e^{\lambda_1 t} \vec{\eta_1} + c_2 e^{\lambda_2t} \vec{\eta_2} + \dots\)

Kyseessä ovat yleiset ratkaisut. Jos halutaan yksittäisratkaisuja, niin kertoimet \(c_1, c_2, \dots\) pitää ratkaista joistakin annetuista alkuehdoista.

Esimerkki

Ratkaistaan matriisimenetelmällä differentiaaliyhtälöpari

\(\begin{equation}\begin{cases}x_1'=4x_1+7x_2 \\ x_2'=-2x_1-5x_2\end{cases}\end{equation}\)

Muodostetaan ensin matriisiyhtälö. Sitten etsitään kerroinmatriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit. Sitten kootaan tuloksista yhtälöparin ratkaisu. Ennen kuin katsot ratkaisun, mieti hieman, mitä tekisit näissä eri vaiheissa.

Ratkaisu

Yhtälöpari vastaa matriisiyhtälöä

\(\begin{bmatrix} x_1' \\ x_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ -2 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1' \\ x_2' \end{bmatrix}\)

Kerroinmatriisi on siis \(\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ -2 & 5\end{bmatrix}\).

Tämän matriisin ominaisarvot ovat \(\lambda_1 = -3\) ja \(\lambda_2=2\). Ne voidaan selvittää esimerkiksi Octavella.

Ominaisvektorien laskeminen käsin on hieman haastavampaa. Todetaan, että tämän matriisin ominaisvektoreiksi voidaan valita esimerkiksi

\(\vec{\eta_1}=\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\) ja \(\vec{\eta_2}=\begin{bmatrix} -\frac{7}{2} \\ 1 \end{bmatrix}\).

Voit halutessasi tarkistaa, että yhtälö \(A \vec{\eta}=\lambda\vec{\eta}\) on tosi, kun sijoitat sinne \(\lambda_1\) ja \(\vec{\eta_1}\) yhdessä, tai vaihtoehtoisesti \(\lambda_2\) ja \(\vec{\eta_2}\) yhdessä.

Tässä tapauksessa ratkaisuksi muodostuu siis

\(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = c_1 e^{-3 t} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2e^{2t} \begin{bmatrix} -\frac{7}{2} \\ 1 \end{bmatrix}\)

Ratkaisun voi sieventää pois matriisimuodosta normaaleilla matriisien laskutoimituksella:

\(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - c_1 e^{-3 t} -\frac{7}{2} c_2e^{2t} \\ c_1 e^{3t} - c_2 e^{2t} \end{bmatrix}\)

ja tästä päästään yhtälöparin muodossa esitettyyn ratkaisuun

\(\begin{equation}\begin{cases}x_1=- c_1 e^{-3 t} -\frac{7}{2} c_2e^{2t}\\ x_2=c_1 e^{3t} - c_2 e^{2t}\end{cases}\end{equation}\)