Ominaisarvot ja -vektorit

Tämän luvun sisältö kuuluu laajan matematiikan opintojaksoihin.

Jos tyyppiä \(n \times n\) oleva matriisi \(A\) kerrotaan \(n \times 1\) -tyyppisellä vektorilla \(\vec{v}\) ja tulokseksi saadaan sama vektori kerrottuna jollakin luvulla \(\lambda\), sanotaan että \(\lambda\) on matriisin \(A\) ominaisarvo ja \(\vec{v}\) matriisin \(A\) ominaisvektori. Yhtälönä tämä ilmaistaan seuraavasti:

\(A\vec{v}=\lambda\vec{v}\).

Neliömatriisilla, jonka koko on \(n \times \), on \(n\) ominaisarvoa. Jokaista ominaisarvoa vastaa ääretön määrä ominaisvektoreita. Ominaisarvoja ja ominaisvektoreita voidaan myöhemmin hyödyntää mm. differentiaaliyhtälöiden ratkaisuissa. Tällä sivulla esitetään, miten ominaisarvot ja -vektorit lasketaan.

Ominaisarvoyhtälö

Matriisin ominaisarvo ja ominaisvektori löytyvät ratkaisemalla yhtälö \(A\vec{v}=\lambda\vec{v}\):

\(A\vec{v}-\lambda\vec{v}=\vec{0} \Leftrightarrow A\vec{v}-\lambda I_n \vec{v}=\vec{0} \Leftrightarrow (A-\lambda I_n)\vec{v}=\vec{0}\)

Tälle yhtälölle on olemassa triviaaliratkaisu \(\vec{n}=\vec{0}\), sillä nollavektori kerrottuna millä tahansa sopivan kokoisella matriisilla tuottaa nollavektorin. Tässä tapauksessa emme ole kiinnostuneita tästä ratkaisusta. Toisena vaihtoehtona on selvittää äärettömän monta ratkaisua, joilla \(\vec{n} \neq \vec{0}\).

Yleisesti matriisiyhtälölle \(M \vec{x} = \vec{y}\), missä \(M\) on \(n \times n\) -tyyppinen matriisi ja \(\vec{x}\) ja \(\vec{y}\) ovat \(n \times 1\) -tyyppisiä vektoreita, on ratkaisuja ääretön määrä silloin, kun kerroinmatriisin \(M\) determinantti on nolla. Tässä tapauksessa on siis ratkaistava yhtälö \(\text{det}(A-\lambda I_n)=0\). Kyseisen yhtälön vasemmasta puolesta muodostuu matriisin karakteristinen polynomi. Käytännössä yhtälöstä tulee \(n\). asteen yhtälö, jonka tuntemattomana on ominaisarvo \(\lambda\).

Esimerkki

Laske matriisin \(A=\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\) ominaisarvot.

Ratkaisu

Ratkaistaan yhtälö \(\text{det} (A-\lambda I_2) = 0\):

\(\text{det} \left(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4\end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\right) = 0\)

\(\text{det} \left(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{bmatrix}\right) = 0\)

\(\text{det} \begin{bmatrix} 2-\lambda & 5 \\ 3 & 4-\lambda\end{bmatrix} = 0\)

\((2-\lambda)(4-\lambda)-5\cdot 3 = 0\)

\(8-2\lambda-4\lambda + \lambda^2 -15 = 0\)

\(\lambda^2 - 6\lambda -7 = 0\)

\(\lambda = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1 \cdot (-7)}}{2\cdot 1}\)

\(\lambda = \frac{6\pm\sqrt{64}}{2}\)

\(\lambda = \frac{6\pm 8}{2}\)

\(\lambda_1 = \frac{6+8}{2}=7, \lambda_2=\frac{6-8}{2}=-1\).

Matriisin \(A\) ominaisarvot ovat siis \(\lambda_1=7\) ja \(\lambda_2=-1\).

Kun matriisin ominaisarvot on löydetty, lasketaan ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit. Tämä onnistuu ratkaisemalla yhtälö \((A-\lambda I_n) \vec{v} = \vec{0}\). Tästä matriisiyhtälöstä muodostuu yhtälöryhmä, josta voidaan ratkaista ominaisvektorin komponentit.

Esimerkki

Laske matriisin \(A=\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\) ominaisvektorit. Matriisin \(A\) ominaisarvot ovat \(7\) ja \(-1\).

Ratkaisu

Merkitään ominaisarvoa \(\lambda_1=7\) vastaavaa ominaisvektoria \(\vec{v_1}=\begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix}\). Ratkaistaan yhtälö \(A-\lambda \vec{v} = \vec{0}\):

\(\left(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4\end{bmatrix} - 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} v_{11 } \\ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

\(\left(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} 2-7 & 5 \\ 3 & 4-7\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} -5 & 5 \\ 3 & -3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Huomataan, että vasemmanpuoleisen matriisin determinantti on \(-5\cdot (-3) - 5\cdot 3 = 15-15=0\). Tällöin yhtälöä ei voi ratkaista kyseisen matriisin käänteismatriisilla kertomalla. Ratkaisua ei löydy tällä tavalla, sillä ominaisvektoreita on ääretön määrä. Matriisitulon määritelmän avulla voidaan kuitenkin muodostaa yhtälöpari:

\(\begin{equation} \begin{cases} -5 v_{11} + 5 v_{12} = 0 \\ 3 v_{11} -3 v_{12} = 0 \end{cases} \end{equation}\)

Kummasta tahansa yhtälöstä huomataan, että \(v_{11}=v_{12}\). Toisin sanoen ominaisarvoa \(7\) vastaavia ominaisvektoreita ovat kaikki vektorit, joissa komponenttien kertoimet ovat yhtä suuret, esimerkiksi

\(\vec{v_1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) tai yksikkövektori \(\vec{v_1}=\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\).

Ominaisarvoa \(\lambda_2=-1\) vastaava ominaisvektori \(\vec{v_2}=\begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix}\) saadaan seuraavasti:

\(\left(\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4\end{bmatrix} - (-1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\)

\(v_{22}=\frac{3}{5} v_{21}\)

Toisin sanoen ominaisvektoreita ovat kaikki ne vektorit, joissa jälkimmäinen komponentti on suuruudeltaan \(-3/5\) ensimmäisestä, esimerkiksi

\(\vec{v_2}=\begin{bmatrix} 5 \\ -3 \end{bmatrix}\) tai yksikkövektori \(\vec{v_2}=\begin{bmatrix} 5/\sqrt{34} \\ -3/\sqrt{34} \end{bmatrix}\).