Mitä matriisit ovat?
Contents
Mitä matriisit ovat?#
Matriisi on riveihin ja sarakkeisiin järjestelty lukujen joukko. Kuitenkaan se ei ole aivan samanlainen olio kuin esimerkiksi taulukkolaskentaohjelmaan syötetty taulukko kuukausittaisista tuloista ja menoista. Matriisit voivat olla hyvinkin pieniä, mutta silti matemaattisesti tehokkaita. Esimerkiksi karttojen koordinaattimuutoksiin riittää neljä lukua sisältävä matriisi. Toisaalta matriisit voivat olla valtavan suuriakin, esim. tavallinen digitaalinen valokuva tallennetaan matriisina, jossa voi olla kymmeniä tuhansia lukuja.
Tietokoneella voidaan käsitellä matriiseja, joissa on kymmeniä tuhansia rivejä ja sarakkeita. Tällöin kuitenkin on syytä olla tietoinen siitä, että matriisienkin laskutoimituksissa ongelman sieventäminen kynällä ja paperilla saattaa säästää tietokoneen työskentelyyn tarvitsemaa aikaa merkittävästi. Matriisi voi olla myös useampiulotteinen. Silloin matriisissa on useita tavallisia matriiseja “päällekkäin”. Tällaisia matriiseja käytetään mm. kuvankäsittelyssä.
Oheinen joulukuusen kuva (lähde: Wikipedia) koostuu kolmesta matriisista. Kuvan värit muodostuvat eri yhdistelmistä punaista, vihreää ja sinistä. Yksi matriisi kertoo kuvan sisältämän punaisen värin määrän, toinen sinisen ja kolmas vihreän.
Tällä opintojaksolla matriiseja käytetään yhtälöryhmien ratkaisussa ja geometrisissa ongelmissa. Niitä voidaan hyödyntää myös esimerkiksi datan analysoinnissa ja kuvankäsittelyssä. Matriisilaskennalle löytyy sovelluksia esimerkiksi taloustieteestä, biologiasta ja fysiikasta.
Peruskäsitteitä#
Matriisia merkitään jollakin kirjaimella, esimerkiksi
Tyyppi ja alkiot#
Matriisin tyyppi tarkoittaa: rivien määrä
Esimerkiksi matriisin
Matriisin
Edellä esitetyn matriisin
Neliömatriisi ja yksikkömatriisi#
Jos matriisissa on yhtä monta riviä ja saraketta, eli jos sen tyyppi on muotoa
Esimerkiksi matriisi
Matriisin
Yksikkömatriisi on sellainen neliömatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat ykkösiä (1) ja kaikki muut nollia (0). Yksikkömatriisia merkitään
Esimerkkinä yksikkömatriisesta on matriisi nimeltä
Transpoosi#
Matriisin
Esimerkiksi matriisin
Matriisin
Vektori matriisina#
Vektoreita voi näppärästi käsitellä samoilla laskutoimituksilla kuin matriiseja, kun ne tulkitaan matriiseiksi, joilla on joko yksi rivi tai yksi sarake. Esimerkiksi vektori
Tällöin vektorien laskutoimitukset muuttuvat matriisien laskutoimituksiksi; esimerkiksi vektorin pistetulo tarkoittaa vektoria vastaavan matrisin kertolaskua oman transpoosinsa kanssa. Usein matriisilaskennan sovelluksissa vektoreilla tarkoitetaan jotakin muuta kuin paikkavektoreita. Näihin sovelluksiin palataan myöhemmin tässä oppimateriaalissa.