Juurilausekkeet
Contents
Juurilausekkeet¶
Neliöjuuri \(\sqrt{a}\)
\(\sqrt{a}\) tarkoittaa sitä positiivista lukua, jonka neliö on a
ts. \({\sqrt{a}}^2 = a\)
Esim. \(\sqrt{4}=2\), koska \(2^2=4\)
\(\sqrt{49}=7\), koska \(7^2=49\)
\(\sqrt{2}\approx1.414\), koska \(1.414^2\approx2\)
\(\sqrt{-4}\) ei ole olemassa (minkään luvun neliö ei ole negatiivinen)
Note
Neliöjuuren määritelmä voidaan esittää myös muodossa
\(\sqrt{a}\) on yhtälön \(x^2=a\) positiivinen juuri.
Kuutiojuuri \(\sqrt[3]{a}\)
\(\sqrt[3]{a}\) tarkoittaa lukua, jonka 3. potenssi on a
ts. \({\sqrt[3]{a}}^3 = a\)
Kuutiojuuren voi ottaa myös negatiivisesta luvusta. Tällöin juuren arvo on negatiivinen.
\(\sqrt[3]{8} = 2\) , koska \(2^3 = 8\)
\(\sqrt[3]{-125} = -5\) , koska \({(-5)}^3 = -125\)
\(\sqrt[3]{10} \approx 2.154\) , koska \(2.154^3 \approx 10\)
Note
\(\sqrt[3]{a}\) on yhtälön \(x^3=a\) juuri.
Yleinen juuri \(\sqrt[n]{a}\)
\(\sqrt[n]{a}\) tarkoittaa lukua, jonka n. potenssi on a
\({\sqrt[n]{a}}^n = a\)
Kun n on parillinen, \(\sqrt[n]{a}\) on määritelty vain kun \(a\gt0\)
Kun n on parillinen, \(\sqrt[n]{a}\) on määritelty myös kun a < 0
Juurten esitys murtopotensseina
\(\sqrt{a}\) voidaan esittää potenssimuodossa \(a^{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt[3]{a}\) voidaan esittää potenssimuodossa \(a^{\frac{1}{3}}\)
\(\sqrt[n]{a}\) voidaan esittää potenssimuodossa \(a^{\frac{1}{n}}\)
Perustelu: \({(a^{\frac{1}{2}})}^2 = {a^{\frac{1}{2}\cdot 2}} = a\) (vrt. neliöjuuren määritelmä)
Murtopotensseja voi käyttää vain positiivisille kantaluvuille a
Esimerkkejä eräiden lausekkeiden juuri- ja potenssiesityksistä
Juuriesitys |
Potenssiesitys |
|---|---|
\(\sqrt{x}\) |
\(x^{\frac{1}{2}}\) |
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) |
\(x^{-\frac{1}{2}}\) |
\(\sqrt[3]{x^2}\) |
\(x^{\frac{2}{3}}\) |
Juurilausekkeiden sievennyssääntöjä¶
Useimmat laskimet sieventävät automaattisesti neliöjuurilausekkeet muotoon, jossa 1) nimittäjässä ei esiinny neliöjuuria 2) juurten sisällä ei ole kokonaisluvun tai parametrien neliöitä tai parillisia potensseja. Sievennys perustuu seuraaviin sääntöihin.
Neliöjuurilausekkeiden sievennys
\(\frac{1}{\sqrt{a}}= \frac{\sqrt{a}}{a}\)
\(\sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\sqrt{b}\)
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Laskimissa \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) usein lavennetaan muotoon \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Samoin useat laskimet sieventävät juurilausekkeita seuraavasti:
\(\sqrt{50}=\sqrt{2\cdot 25}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{25}=5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{6}\sqrt{2}=\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{2}=2\sqrt{3}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}= \sqrt{\frac{3}{6}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Sievennä a) \(\sqrt{12}\) ja \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{12}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)
\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}\)