Polynomien peruslaskutoimitukset
Contents
Polynomien peruslaskutoimitukset¶
Polynomin määritelmä
Ao. muotoa olevaa lauseketta kutsutaan polynomiksi
\( a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\)
x = muuttuja
n = polynomin asteluku (= muuttujan x korkein potenssi polynomissa)
\(a_{0}\) on polynomin vakiotermi
Polynomien laskutoimitukset¶
Polynomien yhteenlasku¶
Polynomien yhteenlaskussa sulut voidaan poistaa suoraan, jonka jälkeen yhdistetään samanasteiset termit laskemalla niiden kertoimet yhteen.
Esimerkki
\((2x^3-5x^2+7x-3)+(4x^3+2x+6)\)
\(=2x^3-5x^2+7x-3+4x^3+2x+6\)
\(=(2+4)x^3-5x^2+(7+2)x-3+6\)
\(= 6x^3 - 5x^2 +9x+3\)
Laske polynomien \(-2x^2+5x+3\) ja \(5x^2-7x-2\) summa.
Vastaus: \(3x^2-2x+1\)
Ratkaisu
Yhteenlaskussa sulkumerkkejä ei tarvita. \(-2x^2+5x+3 +5x^2-7x-2\) = \((-2+5)x^2+(5-7)x+3-2 = 3x^2-2x+1\)
Polynomien vähennyslasku¶
Polynomien vähennyslasku suoritetaan laskemalla yhteen vähennettävä ja vähentäjän vastapolynomi, joka saadaan vaihtamalla vähentäjäpolynomien termien etumerkit. Ts. P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x))
Esimerkki
\((2x^3-5x^2+7x-3)\color{red}{-(4x^3+2x+6)}\)
\(=2x^3-5x^2+7x-3\color{red}{ -4x^3-2x-6}\)
\(=(2-4)x^3-5x^2+(7-2)x-3-6\)
\(= -2x^3 - 5x^2 +5x -9\)
Laske polynomien\(-2x^2+5x+3\) ja \(5x^2-7x-2\) erotus.
Vastaus: \(-7x^2+12x+5\)
Ratkaisu
Sulkuja poistettaessa vähentäjän etumerkit käännetään. \((-2x^2+5x+3) -(5x^2-7x-2)\) = \(-2x^2+5x+3-5x^2+7x+2 = -7x^2+12x+5\)
Polynomin kertominen vakiolla¶
Polynomi kerrotaan vakiolla siten, että polynomin jokainen termi kerrotaan ko. vakiolla
Esimerkki
\( \color{red}{3}\color{black}{\cdot(2x+5)} = \color{red}{3}\color{black}{\cdot2x}+\color{red}{3}\color{black}{\cdot5} = 6 x +15\)
Sievennä poistamalla sulut lausekkeesta \( -5\cdot(3x^2-2)\)
Vastaus: \(-15x^2+10\)
Ratkaisu
\( -5\cdot(3x^2-2) = -5\cdot3x^2-5(-2) = -15x^2+10\)
Polynomin jakaminen vakiolla¶
Polynomi kerrotaan vakiolla siten, että polynomin jokainen termi jaetaan ko. vakiolla
Esimerkki
\( \frac {5 x-2} {\color{red}3} = \frac {5} {\color{red}3} x -\frac {2} {\color{red}3}\)
Polynomien kertolasku¶
Kertolasku P(x)Q(x) suoritetaan kertomalla jokainen P(x):n termi jokaiselle Q(x):n termillä.(“ristiin kertominen”)
Jos polynomissa P(x) on n termiä ja polynomissa Q(x) m termiä, syntyy kertolaskussa mxn termiä, joista samanasteiset termit voidaan yhdistää.
Esimerkki
\( \color{red}{(2x+3)}\color{black}{(3x^2-5x+2)}\)
= \(\color{red}{2x}\color{black}{\cdot3x^2}+\color{red}{2x}\color{black}{\cdot(-5x)}+\color{red}{2x}\color{black}{\cdot2}+\color{red}{3}\color{black}{\cdot3x^2}+\color{red}{3}\color{black}{\cdot(-5x)}+\color{red}{3}\color{black}{\cdot2}\)
= \(6x^3-10x^2+4x+9x^2-15x+6\)
= \(6x^3+(-10+9)x^2+(4-15)x+6\)
= \(6x^3 - x^2 -11x + 6\)
Sievennä poistamalla sulut lausekkeesta \( (5x-2)(3-7x^2)\)
Vastaus: \(-35x^3+14x^2+15x-6\)
Ratkaisu
\( (5x-2)(3-7x^2)=5x\cdot3+5x(-7x^2)-2\cdot3-2(-7x^2)\)
= \( 15x-35x^3-6+14x^2 = -35x^3+14x^2+15x-6\)
Polynomien potenssi¶
Potenssi \(P(x)^n\) voidaan laskea kertolaskuna \(\overset{n\hspace{2mm} kpl}{P(x)\cdots P(x)}\). Binomin neliö voidaan laskea myös kaavalla
\((a\pm b)^{^2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}\)
Esimerkki
Tapa1: \((2x-3)^{2}=(2x-3) (2x-3)=2x\cdot2x+2x\cdot(-3)-3 \cdot2x-3 (-3)=4x^{2}-12x+9\)
Tapa2: \((2x-3)^{2}=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^{2}=4x^{2}-12x+9\)
Sievennä poistamalla sulut \( (5x-2)^2\)
Vastaus: \(25x^2-20x+4\)
Ratkaisu
Tapa1: \( (5x-2)^2 = (5x-2)(5x-2) = 5x\cdot5x+5x(-2)-2(5x)-2(-2)=25x^2-20x+4\)
Tapa2: \( (5x-2)^2 = (5x)^2-2(5x)2+2^{2} = 25x^2-20x+4 \) \(\hspace{10mm}\color{red}{kaava: (a\pm b)^{^2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}\)
WolframAlpha:n expand
WolframAlpha.com -laskimessa polynomien summa, tulo ja potenssi lasketaan komennolla expand
esim. expand \(x (3x-2)^2\)
Polynomien jakolasku¶
Polynomin jakaminen toisella polynomilla suoritetaan jakokulmassa.
Alla olevassa kuvassa on suoritettu jakokulmaa käyttäen jakolasku \(\frac {x^4 -3x^3-x^2-1}{x^2+1} \)
Osamääräksi on saatu \(x^2 -3x -2\) ja jakojäännökseksi \(3x+1\) (katso ao.video)
Polynomin jakaminen tekijöihin (faktorointi)¶
Polynomin kertolaskulle käänteinen operaatio on polynomin jakakaminen tekijöihin.
Siinä polynomi pyritään esittämään alempiasteisten polynomien tulona.
Keinoja polynomin tekijöihin jakamiseksi:
Yhteisen tekijän löytäminen
Neliöiden erotuksen kaava \(\color{red}{a^2-b^2 = (a-b)(a+b)}\)
Binomin neliön kaavat \(\color{red}{(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2}\)
Polynomin jakaminen tekijöihin juurten avulla
Sääntö
Jos \(x_0\) on polynomin P(x) juuri, niin \(x-x_0\) on polynomin tekijä.
Esim1. Esitä tulona \( 6ax^2 - 2x \)
Vastaus: \(2x(3ax-1) \)
Ratkaisu
Termeillä on yhteisinä tekijöinä 2x, joten lauseke voidaan esittää tulomuodossa
\( 6ax^2 - 2x = 2x(3ax-1) \)
(Toinen tekijä 3ax-1 saadaan jakamalla alkuperäisen polynomin molemmat tekijät 2x:llä)
Esim2. Esitä tulona \( 25 - a^2 \)
Vastaus: \((5-a)(5+a)\)
Ratkaisu
Lauseke on lukujen 5 ja a neliöiden erotus, joten voidaan kirjoittaa
\( 25 - a^2 = (5-a)(5+a)\)
Esim3. Esitä tulona \( x^2 + 4 x + 4 \)
Vastaus: \((x+2)^2\)
Ratkaisu
Tähän soveltuu binomin neliön kaava, koska termeinä ovat lukujen x ja 2 neliöt, sekä niiden kaksinkertainen tulo 2x2.
\( x^2 + 4 x + 4 = x^2 + 2\cdot2x + 2^2 = (x+2)^2\)
Esim3. Esitä tulona \( 2x^2 + 3 x - 5\)
Vastaus: \((x-1)(2x+5)\)
Ratkaisu
Huomataan, että x=1 on polynomin juuri, koska \(2\cdot1^2 + 3\cdot1 - 5 = 2+3-5=0\)
Siten \( 2x^2 + 3 x - 5 = (x-1)(ax+b)\) , missä ax+b on toinen tekijöistä.
Suorittamalla oikean puolen kertolasku todetaan, että on oltava a=2 ja -b=-5 => b=5
Siten \( 2x^2 + 3 x - 5 = (x-1)(2x+5)\)
WolframAlpha:n factor
WolframAlpha.com online laskimessa polynomien faktorointikomento on factor
esim. factor \(2x^3+3x^2-5x\)