Verrannollisuus
Contents
Verrannollisuus¶
Verranto¶
Määritelmä
Verranto on yhtälö, jossa kaksi suureen suhdetta on merkitty yhtäsuuriksi.
\(\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\)
Lukuja A ja D sanotaan verrannon äärimmäisiksi jäseniksi ja
lukua B ja C verrannon keskimmäisiksi jäseniksi
Mikä tahansa suureista A,B,C tai D voidaan ratkaista verrannosta, kun kolme muuta jäsentä tunnetaan.
Yleisesti käytetty menettely on ns “ristiin kertominen”
Ristiin kertominen
Verrannon \(\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\) äärimmäisten jäsenten tulo = keskimmäisten jäsenten tulo. Ts.
\(A\cdot D =B\cdot C\)
Esimerkki
Ratkaise x verrannosta \(\frac{24}{40}=\frac{x}{60}\)
Ratkaisu
Ristiin kertomalla saadaan \(24\cdot 60 =40\cdot x\) , josta ratkaistuna
\(x =\frac{24\cdot60}{40} = 36 \)
Esimerkki
Ratkaise x verrannosta \(\frac{5}{x}=\frac{12}{8}\)
Ratkaisu
Ristiin kertomalla saadaan \(5\cdot 8 =x\cdot 12\) , josta ratkaistuna
\(x =\frac{5\cdot8}{12} = \frac{40}{8}\approx 3.33 \)
Verrannollisuus ja sen lajeja¶
Verrantoa ja sen ratkaisutekniikkoja voidaan hyödyntää käytännön ongelmien ratkaisuissa silloin, kun tarkasteltavien suureiden välillä on jonkin tyyppinen verrannollisuus. Seuraavassa on muutamia verrannollisuustyyppejä.
Suoraan verrannollisuus
Suureet x ja y ovat suoraan verrannolliset , jos
\(y = k\cdot x\) , missä k on jokin vakiokerroin.
Tällöin on voimassa verranto
\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\)
Esimerkki
Talon 3.0 m² seinän maalaamiseen kului 0.25 ltr maalia. Kuinka paljon maalia kuluu olohuoneen maalaamiseen, kun olohuoneen seinäpinta-ala on 32 m².
Ratkaisu
On ilmeistä, että maalin kulutus on suoraan verrannollnen maalattavaan pinta-alaan. Jos merkitään x:llä kysyttyä maalinkulutusta, saadaan verranto
\(\frac{\text{32 }m^2}{\text{3.0 } m^{2}}=\frac{x}{\text{0.25 ltr}}\), josta laskettuna
\(x = 32/3.0*0.25 ltr = 2.7 ltr\)
Kääntäen verrannollisuus
Suureet x ja y ovat kääntäen verrannolliset , jos
\(y = \frac{k}{x} \) , missä k on vakio.
Kääntäen verrannollisuus voidaan esittää myös niin, että suureiden tulo x y = vakio
\(x\cdot y= k\)
Verrantomuodossa sama asia voidaan ilmaista seuraavasti
\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}\)
Esimerkki
Mika ajaa töihin 20 minuutissa, kun keskinopeus työmatkalla on 80 km/h. Kuinka kauan työmatkaan menee, kun keskinopeus on 65 km/h
Ratkaisu
Työmatkaan kuluvan ajan ja nopeuden tulo on esimerkin tilanteessa sama kuin työmatkan pituus, joka pysyy samana. Aika ja nopeus ovat siten kääntäen verrannolliset. Jos ajoaikaa nopeudella 65 km/h merkitään t:llä, voidaan t ratkaista joko yhtälöstä
\(20 min*80 km/h = t \cdot 65 km/h\)
tai verrannosta, jossa indeksit ovat käänteisessä järjestyksessä (\(\frac{t_1}{t_2}=\frac{v_2}{v_1}\))
\(\frac{t}{20min}=\frac{80km/h}{65km/h}\). Ratkaisu on molemmilla tavoilla sama: \(t = 80/65*20 min = 24.6 min\)
“y on verrannollinen x:n neliöön”
y on verrannollinen x:n neliöön tarkoittaa, että
\(y = k\cdot x^2 \) , missä k on vakio.
Verrantomuodossa sama asia voidaan ilmaista seuraavasti
\(\frac{y_1}{y_2}=\frac{{x_1}^2}{{x_2}^2}\)
Esimerkki
Henkilöauton ilmanvastus on verrannollinen auton nopeuden neliöön. Oletetaan, että Audin ilmanvastus nopeudella 100 km/h ajettaessa on 230 N (Newtonia). Mikä on ilmanvastus, kun nopeus on 120 km/h?
Ratkaisu
Jos käytetään ilmanvastuksesta ja nopeudesta symboleja F ja v, saadaan verranto \(\frac{F_1}{F_2}=\frac{{v_1}^2}{{v_2}^2}\)
\(\frac{F}{230 N}=\frac{{(120km/h)}^2}{{(80km/h)}^2}\).
Ratkaisu on molemmilla tavoilla sama:
\(F = \frac{{120}^2}{{80}^2}\cdot 230N \approx \text{518 }N\)