Potenssien laskusäännöt
Contents
Potenssien laskusäännöt¶
Potenssin määritelmä¶
Potenssin määritelmä
\(a^n = \underset{n\hspace{2mm} kpl} {a\cdot a\hspace{2mm}\cdot \hspace{2mm} ...\hspace{2mm}\cdot \hspace{2mm}a}\)
Potenssien laskulakeja¶
Samankantaisten potenssien tulo
\(x^n\cdot x^m = x^{n+m}\)
Esimerkki. Sievennä \( a^5\cdot a^7\)
\( a^5\cdot a^7 = a^{5+7}=a^{12}\)
Samankantaisten potenssien osamäärä
\(\frac {x^n}{x^m} = x^{n-m}\)
Esim. Sievennä \( \frac{z^7}{z^3}\)
\( \frac{z^7}{z^3} = z^{7-3}=z^4\)
Negatiivisen potenssin määritelmä
Sievennetään \(\frac {x^2}{x^5}\) kahdella tavalla:
Supistamalla \(x^2\) :lla saadaan \(\frac {x^2}{x^5}\) = \(\frac {1}{x^3}\)
Samankantaisten potenssien osamäärän kaavaa käyttäen \(\frac {x^2}{x^5}\)=\(x^{2-5}\)=\(x^{-3}\)On siten mielekästä määritellä negatiivinen potenssi \(x^{-3}\) = \(\frac {1}{x^3}\)
Negatiivinen potenssi
\( x^{-n} = \frac {1} {x^n}\)
Seuraus
Murtoluvun negatiivinen potenssi = sen käänteisluvun vastaava positiivinen potenssi
\( {(\frac {a}{b})}^{-n} = {(\frac {b}{a})}^{n}\)
Esim. Sievennä \( {(\frac {2}{3})}^{-3}\)
\( {(\frac {2}{3})}^{-3} = {(\frac {3}{2})}^{3}=\frac {3 ^3}{2^3} =\frac {27}{8}\)
Luvun potenssi nolla
Sievennetään \(\frac {x^4}{x^4}\) kahdella tavalla: Supistamalla saadaan \(\frac {x^4}{x^4}\) = \(\frac {1}{1}\) = 1
Samankantaisten potenssien osamäärän kaavalla saadaan \(\frac {x^4}{x^4}\) = \(x^{4-4}\) = \(x^{0}\)
On siten mielekästä määritellä nollas potenssi \(x^{0}\) = 1
Nollas potenssi
\( x^{0} = 1\) kaikille reaaliluvuille x
Esim. Sievennä \( {(\frac {2}{3})}^{0}\)
\( {(\frac {2}{3})}^{0} = 1\) , koska minkä tahansa luvun 0:s potenssi on 1
Peräkkäiset potenssiin korotukset
\( (x^n)^{m} = x^{n m}\)
Sievennä \( (a^7)^{3}\)
\( (a^7)^{3}\) = \(a^{7\cdot 3}\) = \(a^{21}\)
Tulon korottaminen potenssiin
\( (x y)^{m} = x^n y^m\)
Esim. Sievennä \( (2a b)^{3}\)
\( (2a b)^{3}\) = \(2^3a^3 b^3\)=\(8a^3 b^3\)
Osamäärän korottaminen potenssiin
\( {(\frac {x} {y})}^{m} = \frac {x^n} {y^m}\)
Esim. Sievennä \( {(\frac {3z} {2y})}^{2}\)
\( {(\frac {3z} {2y})}^{2} = \frac {3^2z^2} {2^2y^2}=\frac {9z^2} {4y^2}\)