Murtoluvut ja murtolausekkeet
Contents
Murtoluvut ja murtolausekkeet¶
Murtoluvut ja murtolausekkeet
Murtoluvut ovat muotoa \(\frac {m}{n}\) olevia lukuja, missä m ja n ovat kokonaislukuja. Lukua m sanoitaan osoittajaksi ja lukua n nimittäjäksi
Murtolausekkeella tarkoitetaan tässä muotoa \(\frac {P}{Q}\) olevia lauskkeita,
missä osoittaja P ja nimittäjä Q voivat sisältää lukujen lisäksi parametrejä ja muuttujia.
Murtolukujen ja -lausekkeiden laskusääntöjä¶
Murtolukujen ja lausekkeiden kertolasku
Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään \(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\)
Esim. Laske \(\frac{2}{7}\cdot \frac{3}{5}\)
Vastaus \(\frac {6}{35}\)
Ratkaisu
\( \frac{2}{7}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 7}=\frac {6}{35}\)
Esim. Laske \(\frac{2b}{a}\cdot \frac{3a^2}{14x}\)
Vastaus \(\frac {3ab}{7x}\)
Ratkaisu:
Osoittajat ja nimittäjät yhdistetään yhdeksi murtolausekkeeksi
\( \frac{2b}{a}\cdot \frac{3a^2}{14x}=\frac{6a^2b}{14ax}=\frac {3ab}{7x}\)
Murtolukujen ja -lausekkeiden jakolasku
Jakolaskussa osoittaja kerrotaan nimittäjän käänteisluvulla \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}\)
Esim. Laske \( \frac{\frac{2}{7}}{\frac{3}{5}}\)
Vastaus \(\frac{10}{21}\)
Ratkaisu
\( \frac{\frac{2}{7}}{\frac{3}{5}}=\frac{2}{7}\cdot \frac{5}{3}=\frac{10}{21}\)
Esim. Laske \( \frac{2h}{t}:\frac{2\pi rh}{5t^2}\)
Vastaus: \(\frac{5t}{\pi r}\)
Ratkaisu:
Jakolasku suoritetaan kertomalla jakajan käänteisluvulla
\( \frac{2h}{t}\cdot \frac{5t^2}{2\pi r h}=\frac{5t}{\pi r}\)
Pienin yhteinen jaettava pyj(m,n)¶
Murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa pitää murtoluvut ensin “laventaa samannimisiksi”,
jolloin niille tulee yhteiseksi nimittäjäksi murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen jaettavaLukujen m ja n pienin yhteinen jaettava pyj(m,n) on pienin kokonaisluku, joka on jaollinen sekä luvulla m, että n
Algoritmi pienimmän yhteisen jaettavan pyj(m,n) laskemiselle
Muodosta lukujen m ja n alkulukuhajotelmat (=esitä m ja n alkulukujen potenssien tulona)
Valitse pyj:n kutakin lukujen m ja n alkutekijää suurin potenssi, mikä esiintyy lukujen m ja n alkulukuhajotelmissa
Esim. Laske pyj(42,12)
Alkulukuhajotelmat: \( 42 = 7\cdot3\cdot2 \hspace{5mm} 12=2^2\cdot3 \)
pyj(42,12) = \(7\cdot3\cdot2^2\) = 84 (tekijöitä 7,3 ja 2 otetaan maksimimäärät)
Laske pyj(20,14)
Alkulukuhajotelmat: \( 20 = 5\cdot2^2 \hspace{5mm} 14=2\cdot7 \)
pyj(20,14) = \(5\cdot7\cdot2^2\) = 140 (tekijöitä 7,5 ja 2 otetaan maksimimäärät)
Murtolukujen supistettu muoto¶
Esimerkiksi \(\frac {20}{12}\) , \(\frac {10}{6}\) ja \(\frac {5}{3}\) ovat yksi ja sama murtoluku.
Viimeinen muoto \(\frac {5}{3}\) on luvun supistettu muoto, jossa osoittalla ja nimittäjällä
ei ole enää yhteisiä tekijöitä.
Supistaminen¶
Supistamisessa osoittaja ja nimittäjä jaetaan tekijöihin, ja supistetaan yhteiset tekijät pois.
Esim. \(\frac {20}{12}\) = \(\frac {4 \cdot 5}{4 \cdot 3}\) = \(\frac {5}{3}\)
Supistaminen
\(\frac {c \cdot a}{c \cdot b}\) = \(\frac {a}{b}\)
Esim. Supista \( \frac {72} {30} \)
\( \frac {72} {30} = \frac {3^2*2^3} {3*2*5} = \frac {12} {5} \)
Esim. Supista \( \frac {2\pi r+3r} {5r} \)
Osoittajassa voidaan r ottaa yhteiseksi tekijäksi
\( \frac {(2\pi+3)r} {5r} = \frac {2\pi + 3} {5} \)
Esim. Supista \( \frac {x+3} {x^2-9} \)
Nimittäjä esitetään tulomuodossa käyttäen kaavaa \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
\( \frac {x+3} {(x-3)(x+3)} = \frac {1} {x-3} \)
Warning
Summasta ei voi supistaa! \( \frac {x + 5} {x} \neq \frac {1+5} {1} \)
Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku¶
Murtojen yhteen- ja vähennyslasku
Lavenna murtoluvut samannimisiksi
a. laske murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen jaettava pyj
b. käytä laventajina lukuja pyj/nimittäjä1, pyj/nimittäjä2, …Suorita yhteen- ja vähennyslaskut osoittajien välillä
Muunna tulos supistettuun muotoon, mikäli tarpeen
Esim. Sievennä \( \frac {1} {3} + \frac {3} {2} \)
Vastaus: \(\frac {11} {6}\)
Ratkaisu:
Lavennetaan luvut siten, että uudeksi nimittäjäksi tulee pyj(2,3) eli 6
\( \frac {2} {6} + \frac {9} {6} = \frac {9+2} {6} = \frac {11} {6} \)
Esim. Sievennä \( \frac {1} {a} - \frac {1} {a-1} \)
Vastaus: \(-\frac {1} {a(a-1)} \)
Ratkaisu:
Lavennetaan luvut siten, että uudeksi nimittäjäksi tulee pyj(a,a-1) eli a(a-1)
\( \frac {a-1} {a(a-1)} - \frac {a} {a(a-1)} = \frac {a-1+a} {a(a-1)} = -\frac {1} {a(a-1)} \)
Esim. Yhdistä yhdeksi murtolausekkeeksi \( 1 - \frac {1} {x+2} \)
Vastaus: \(\frac {x+1} {x+2} \)
Ratkaisu:
Lavennetaan luvut siten, että uudeksi nimittäjäksi tulee pyj(1,x+2) eli x+2
\( \frac {x+2} {x+2} - \frac {1} {x+2} = \frac {x+2-1} {x+2} = \frac {x+1} {x+2} \)
Sekamurtoluvut¶
Sekamurtoluvut
Sekamurtoluvut ovat lukuja, joissa on kokonaisosa ja murto-osa. esim. \(2\frac {1}{2}\) ja \(4 \frac {2}{3}\) ovat sekamurtolukuja.
Ennen yhteen-, vähennys- , kerto- ja jakolaskua sekamurtoluku on muunnettava perusmuotoiseksi murtoluvuksi muotoon \(\frac {p}{q}\)
Sekamurtoluvun muuntaminen perusmuotoiseksi murtoluvuksi.
Lavennetaan kokonaisosa niin, että se saa saman nimittäjän kuin murto-osa
esim. \(2\frac {1}{2} = \frac {4}{2} + \frac {1}{2} = \frac {4+1}{2} = \frac {5}{2}\)
Esim. Laske \(2\frac {1}{2} + 4 \frac {2}{3}\)
Vastaus: \(\frac {43}{6}\)
Ratkaisu:
Muunnetaan sekamurtoluvut perusmuotoisiksi murtoluvuiksi: \(2\frac {1}{2}=\frac {5}{2}\) ja \(4\frac {2}{3}=\frac {12}{3}+\frac {2}{3}= \frac {14}{3}\) Lavennetaan yhteiseksi nimittäjäksi pyj(2,3) eli luku 6 =>
\( \frac {5}{2} + \frac {14}{3} = \frac {15}{6} + \frac {28}{6} = \frac {43}{6}\)