Logaritmit ja eksponenttiyhtälöt
Contents
Logaritmit ja eksponenttiyhtälöt#
Monia insinöörialoilla tarpeellisia ilmiöitä voidaan kuvailla eksponenttifunktioilla. Esimerkiksi tietokoneen sisällä kondensaattoreissa sähkövaraus purkautuu eksponentiaalisesti. Toinen toisinaan esiintyvä matemaattinen malli on logaritmifunktio. Esimerkiksi maanjäristyksien voimakkuutta kuvaillaan logaritmisella asteikolla. Tällä sivulla on saatavilla riittävät tiedot siihen, että tällaisia ilmiöitä voidaan käsitellä laskennallisesti.
Matemaattisina käsitteitä sekä eksponentti- että logaritmifunktio ovat alkeisfunktioita. Niitä voidaan siis tarkastella samasta näkökulmasta kuin muitakin funktioita osiossa “Funktiot”. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Kummallekin funktiolle voidaan laskea esimerkiksi raja-arvoja, derivaatta ja integraali. Näitä asioita tarkastellaan tässä oppimateriaalissa toisaalla.
Logaritmin määritelmä#
Logaritmi
Kantalukujen
Logaritmeille on olemassa muutamia laskusääntöjä, joista tässä yhteydessä tarvitaan yhtä. Alla on myös tiivistettynä myös logaritmin määritelmä.
Logaritmi työkaluna
Kohdan 2 perustelu
Määritellään aluksi, että
Sievennetään vasen puoli potenssin laskusääntöjen mukaan:
Nyt voidaan taas soveltaa logaritmin määritelmää: koska
Logaritmiset suureet#
Logaritmeja käytetään sellaisten asioiden ilmaisemiseen, jotka voivat saada sekä hyvin pieniä että hyvin suuria arvoja. Esimerkki tästä on ihmisen kuulemat äänet. Tällaisten suureiden ilmaisussa tarvitaan suureeseen liittyvää intensiteettiä eli tehoa pinta-alayksikköä kohden, jota verrataan johonkin vertailuarvoon. Näiden intensiteettien suhteesta lasketaan kymmenkantainen logaritmi. Äänen tapauksessa vielä kerrotaan tämä logaritmi luvulla 10, jotta saadaan käytännöllinen asteikko äänenvoimakkuuksille. Äänen voimakkuutta kuvailevat desibelit (dB) saadaan seuraavasti:
missä
Kun laskuissa käytetään logaritmisia suureita, joutuu usein välivaiheena ratkaisemaan intensiteetin. Esimerkiksi kaksi 40 dB voimakkuudella toimivaa laitetta eivät tuota yhteensä 80 dB melua, vaan sellainen äänentason, joka muodostuu sijoittamalla desibelin määritelmään kaksinkertaisen intensiteetin ja laskemalla sitten kymmenkantaisen logaritmin.
Esimerkki
Laulukuorossa on 50 jäsentä. Yksi ihminen laulaa noin 65 dB voimakkuudella. Millainen äänenvoimakkuus tulee koko kuorosta?
Ratkaisu
Ratkaistaan ensin yhden laulajan äänen intensiteetti
Saatiin siis intensiteetti
Eksponenttiyhtälöt#
Eksponenttiyhtälössä tuntematon
Esimerkki
Rahaa talletetaan tilille 2000 euroa. Talletus kasvaa korkoa 4 % vuodessa. Toisin sanoen tilillä oleva rahamäärä kerrotaan joka vuoden lopussa luvulla 1.04. Tällöin vuoden jälkeen rahaa on
Ratkaisu
Ratkaistavana on yhtälö
Nyt otetaan logaritmi yhtälön molemmista puolista. Kantaluku voi olla mikä tahansa. Valitaan vaikka luonnollinen logaritmi:
Logaritmin laskusäännön
Yhtälön molemmilla puolilla esiintyvät logaritmit ovat aivan tavallisia lukuja, joten
Laskimella saadaan tulos
Sama tulos saataisiin, vaikka valittaisiin kantaluvuksi jokin muu kuin