Logaritmit ja eksponenttiyhtälöt#

Monia insinöörialoilla tarpeellisia ilmiöitä voidaan kuvailla eksponenttifunktioilla. Esimerkiksi tietokoneen sisällä kondensaattoreissa sähkövaraus purkautuu eksponentiaalisesti. Toinen toisinaan esiintyvä matemaattinen malli on logaritmifunktio. Esimerkiksi maanjäristyksien voimakkuutta kuvaillaan logaritmisella asteikolla. Tällä sivulla on saatavilla riittävät tiedot siihen, että tällaisia ilmiöitä voidaan käsitellä laskennallisesti.

Matemaattisina käsitteitä sekä eksponentti- että logaritmifunktio ovat alkeisfunktioita. Niitä voidaan siis tarkastella samasta näkökulmasta kuin muitakin funktioita osiossa “Funktiot”. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Kummallekin funktiolle voidaan laskea esimerkiksi raja-arvoja, derivaatta ja integraali. Näitä asioita tarkastellaan tässä oppimateriaalissa toisaalla.

Logaritmin määritelmä#

Logaritmi logax on luku y, johon korotettuna luku a muuttuu luvuksi x, siis ay=x tai alogax=x. Merkinnästä logax käytetään nimitystä “luvun x a-kantainen logaritmi”. Esimerkiksi luvun 16 2-kantainen logaritmi on 4, sillä 24=16.

Kantalukujen e (Neperin luku, e2.72) ja 10 logaritmeilla on omat merkintänsä: logex=lnx ja log10x=lgx. Logaritmia, jossa on kantalukuna e, kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi. Kymmenkantaisen logaritmin toinen nimitys on Briggsin logaritmi. Nämä kaksi logaritmia löytyvät useista laskimista, ja niille onkin paljon sovelluksia.

Logaritmeille on olemassa muutamia laskusääntöjä, joista tässä yhteydessä tarvitaan yhtä. Alla on myös tiivistettynä myös logaritmin määritelmä.

Logaritmi työkaluna

  1. logax=yay=x

  2. logaxn=nlogax

Logaritmiset suureet#

Logaritmeja käytetään sellaisten asioiden ilmaisemiseen, jotka voivat saada sekä hyvin pieniä että hyvin suuria arvoja. Esimerkki tästä on ihmisen kuulemat äänet. Tällaisten suureiden ilmaisussa tarvitaan suureeseen liittyvää intensiteettiä eli tehoa pinta-alayksikköä kohden, jota verrataan johonkin vertailuarvoon. Näiden intensiteettien suhteesta lasketaan kymmenkantainen logaritmi. Äänen tapauksessa vielä kerrotaan tämä logaritmi luvulla 10, jotta saadaan käytännöllinen asteikko äänenvoimakkuuksille. Äänen voimakkuutta kuvailevat desibelit (dB) saadaan seuraavasti:

dB=10lgII0

missä I on kyseisen äänen intensiteetti ja I0 on vertailuarvo, joka on määritelty nollaksi desibeliksi ja vastaa hyvin heikkoa, juuri ja juuri kuuluvaa ääntä.

Kun laskuissa käytetään logaritmisia suureita, joutuu usein välivaiheena ratkaisemaan intensiteetin. Esimerkiksi kaksi 40 dB voimakkuudella toimivaa laitetta eivät tuota yhteensä 80 dB melua, vaan sellainen äänentason, joka muodostuu sijoittamalla desibelin määritelmään kaksinkertaisen intensiteetin ja laskemalla sitten kymmenkantaisen logaritmin.

Esimerkki

Laulukuorossa on 50 jäsentä. Yksi ihminen laulaa noin 65 dB voimakkuudella. Millainen äänenvoimakkuus tulee koko kuorosta?

Eksponenttiyhtälöt#

Eksponenttiyhtälössä tuntematon x esiintyy eksponentissa. Yhtälön ratkaisussa tarvitaan tällöin välivaihetta, jossa otetaan kummastakin puolesta logaritmi. Ei ole väliä, mikä on logaritmin kantaluku. Usein käytetään luonnollista logaritmia.

Esimerkki

Rahaa talletetaan tilille 2000 euroa. Talletus kasvaa korkoa 4 % vuodessa. Toisin sanoen tilillä oleva rahamäärä kerrotaan joka vuoden lopussa luvulla 1.04. Tällöin vuoden jälkeen rahaa on 1.042000 euroa, kahden vuoden jälkeen 1.041.042000 euroa eli lyhyemmin kirjoitettuna 1.0422000 euroa, kolmen vuoden jälkeen 1.0432000 euroa jne. ja yleisesti x vuoden kuluttua 1.04x2000 euroa. Kuinka pitkän talletusajan jälkeen tilillä oleva rahamäärä on kasvanut 3000 euroon? Laskussa ei tarvitse huomioida veroja, palvelumaksuja, inflaatiota ym.