Logaritmit ja eksponenttiyhtälöt

Monia insinöörialoilla tarpeellisia ilmiöitä voidaan kuvailla eksponenttifunktioilla. Esimerkiksi tietokoneen sisällä kondensaattoreissa sähkövaraus purkautuu eksponentiaalisesti. Toinen toisinaan esiintyvä matemaattinen malli on logaritmifunktio. Esimerkiksi maanjäristyksien voimakkuutta kuvaillaan logaritmisella asteikolla. Tällä sivulla on saatavilla riittävät tiedot siihen, että tällaisia ilmiöitä voidaan käsitellä laskennallisesti.

Matemaattisina käsitteitä sekä eksponentti- että logaritmifunktio ovat alkeisfunktioita. Niitä voidaan siis tarkastella samasta näkökulmasta kuin muitakin funktioita osiossa “Funktiot”. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Kummallekin funktiolle voidaan laskea esimerkiksi raja-arvoja, derivaatta ja integraali. Näitä asioita tarkastellaan tässä oppimateriaalissa toisaalla.

Logaritmin määritelmä

Logaritmi \(\log_a x\) on luku \(y\), johon korotettuna luku \(a\) muuttuu luvuksi \(x\), siis \(a^y = x\) tai \(a^{\log_a x} = x\). Merkinnästä \(\log_a x\) käytetään nimitystä “luvun \(x\) \(a\)-kantainen logaritmi”. Esimerkiksi luvun 16 2-kantainen logaritmi on 4, sillä \(2^4=16\).

Kantalukujen \(e\) (Neperin luku, \(e\approx 2.72\)) ja \(10\) logaritmeilla on omat merkintänsä: \(\log_e{x} = \ln{x}\) ja \(\log_{10}{x}=\lg{x}\). Logaritmia, jossa on kantalukuna \(e\), kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi. Kymmenkantaisen logaritmin toinen nimitys on Briggsin logaritmi. Nämä kaksi logaritmia löytyvät useista laskimista, ja niille onkin paljon sovelluksia.

Logaritmeille on olemassa muutamia laskusääntöjä, joista tässä yhteydessä tarvitaan yhtä. Alla on myös tiivistettynä myös logaritmin määritelmä.

Logaritmi työkaluna

1. \(\log_a{x} = y \Leftrightarrow a^y = x\)

2. \(\log_a{x^n}=n \log_a{x}\)

Kohdan 2 perustelu

Määritellään aluksi, että \(\log_a{x}=y\). Logaritmin määritelmän perusteella voidaan kirjoittaa, että \(a^y=x\). Korotetaan tämän yhtälön molemmat puolet potenssiin \(n\):

\((a^y)^n=x^n\)

Sievennetään vasen puoli potenssin laskusääntöjen mukaan:

\(a^{yn}=x^n\)

Nyt voidaan taas soveltaa logaritmin määritelmää: koska \(a^{yn}=x^n\), niin \(\log_a{x^n}=yn\). Toisaalta edellä määriteltiin, että \(y=\log_a{x}\). Näin ollen voidaan kirjoittaa: \(\log_a{x^n}=n \log_a{x}\).

Logaritmiset suureet

Logaritmeja käytetään sellaisten asioiden ilmaisemiseen, jotka voivat saada sekä hyvin pieniä että hyvin suuria arvoja. Esimerkki tästä on ihmisen kuulemat äänet. Tällaisten suureiden ilmaisussa tarvitaan suureeseen liittyvää intensiteettiä eli tehoa pinta-alayksikköä kohden, jota verrataan johonkin vertailuarvoon. Näiden intensiteettien suhteesta lasketaan kymmenkantainen logaritmi. Äänen tapauksessa vielä kerrotaan tämä logaritmi luvulla 10, jotta saadaan käytännöllinen asteikko äänenvoimakkuuksille. Äänen voimakkuutta kuvailevat desibelit (dB) saadaan seuraavasti:

\(\text{dB}=10 \lg{\frac{I}{I_0}}\)

missä \(I\) on kyseisen äänen intensiteetti ja \(I_0\) on vertailuarvo, joka on määritelty nollaksi desibeliksi ja vastaa hyvin heikkoa, juuri ja juuri kuuluvaa ääntä.

Kun laskuissa käytetään logaritmisia suureita, joutuu usein välivaiheena ratkaisemaan intensiteetin. Esimerkiksi kaksi 40 dB voimakkuudella toimivaa laitetta eivät tuota yhteensä 80 dB melua, vaan sellainen äänentason, joka muodostuu sijoittamalla desibelin määritelmään kaksinkertaisen intensiteetin ja laskemalla sitten kymmenkantaisen logaritmin.

Esimerkki

Laulukuorossa on 50 jäsentä. Yksi ihminen laulaa noin 65 dB voimakkuudella. Millainen äänenvoimakkuus tulee koko kuorosta?

Ratkaisu

Ratkaistaan ensin yhden laulajan äänen intensiteetti \(I\). Sievennetään yhtälöä ja sitten sovelletaan logaritmin määritelmää:

\(\text{60}=10 \log{\frac{I}{I_0}}\)

\(\lg{\frac{I}{I_0}}=\frac{\text{65}}{10}\)

\(\lg{\frac{I}{I_0}}=6.5\)

\(\frac{I}{I_0}=10^{6.5}\)

\(I=I_0\cdot 10^{6.5}\)

Saatiin siis intensiteetti \(I\) ilmaistuna vertailuarvon ja desibelilukeman avulla. Vertailuarvon \(I_0\) suuruutta ei tarvitse tietää, sillä desibelien laskukaavassa se on nimittäjässä ja siten supistuu kuitenkin pois. Yksittäisen laulajan äänen intensiteetti voidaan nyt kertoa laulajien määrällä ja sijoittaa takaisin desibelin laskukaavaan:

\(\text{dB}=10 \lg{\frac{50\cdot I}{I_0}} = 10 \lg{\frac{50\cdot I_0 \cdot 10^{6.5}}{I_0}} = 10 \lg{(50\cdot 10^{6.5})} \approx 82\)

Eksponenttiyhtälöt

Eksponenttiyhtälössä tuntematon \(x\) esiintyy eksponentissa. Yhtälön ratkaisussa tarvitaan tällöin välivaihetta, jossa otetaan kummastakin puolesta logaritmi. Ei ole väliä, mikä on logaritmin kantaluku. Usein käytetään luonnollista logaritmia.

Esimerkki

Rahaa talletetaan tilille 2000 euroa. Talletus kasvaa korkoa 4 % vuodessa. Toisin sanoen tilillä oleva rahamäärä kerrotaan joka vuoden lopussa luvulla 1.04. Tällöin vuoden jälkeen rahaa on \(1.04\cdot 2000\) euroa, kahden vuoden jälkeen \(1.04\cdot 1.04\cdot 2000\) euroa eli lyhyemmin kirjoitettuna \(1.04^2 \cdot 2000\) euroa, kolmen vuoden jälkeen \(1.04^3\cdot 2000\) euroa jne. ja yleisesti \(x\) vuoden kuluttua \(1.04^x\cdot 2000\) euroa. Kuinka pitkän talletusajan jälkeen tilillä oleva rahamäärä on kasvanut 3000 euroon? Laskussa ei tarvitse huomioida veroja, palvelumaksuja, inflaatiota ym.

Ratkaisu

Ratkaistavana on yhtälö \(1.04^x\cdot 2000=3000\). Sievennetään aluksi yhtälö jakamalla molemmat puolet luvulla \(2000\):

\(1.04^x = \frac{3000}{2000}\)

\(1.04^x = \frac{3}{2}\)

Nyt otetaan logaritmi yhtälön molemmista puolista. Kantaluku voi olla mikä tahansa. Valitaan vaikka luonnollinen logaritmi:

\(\ln{1.04^x}=\ln{\frac{3}{2}}\)

Logaritmin laskusäännön \(\log_a{x^n}=n \log_a{x}\) avulla saadaan tuntematon \(x\) kertoimeksi yhtälön vasemmalle puolelle:

\(x \ln{1.04}=\ln{\frac{3}{2}}\)

Yhtälön molemmilla puolilla esiintyvät logaritmit ovat aivan tavallisia lukuja, joten \(x\) saadaan selville jakolaskulla:

\(x = \frac{\ln{\frac{3}{2}}}{\ln{1.04}}\)

Laskimella saadaan tulos \(x\approx 10.338\), eli hieman yli 10 vuotta. Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla luvun alkuperäiseen yhtälöön: \(1.04^{10.338}\cdot 2000 \approx 2999.996\dots\).

Sama tulos saataisiin, vaikka valittaisiin kantaluvuksi jokin muu kuin \(e\), esimerkiksi \(10\):

\(x = \frac{\lg{\frac{3}{2}}}{\lg{1.04}} \approx 10.338\)