Derivaatan käsite

Suuri osa tästä opintojaksosta koostuu funktioiden kasvunopeuden eli derivaatan määrittelystä ja soveltamisesta. Funktion derivaatta on määritelty raja-arvona murtolausekkeesta, jossa osoittajana on funktion arvojen erotus ja nimittäjänä muuttujan arvojen erotus. Raja-arvo lasketaan tilanteessa, jossa muuttujan arvojen erotus lähestyy nollaa. Graafisesti tarkasteltuna derivaatta tarkoittaisi seuraavaa: jos funktion kuvaajalle piirretään yhtä pistettä sivuava suora, niin derivaatta kyseisessä pisteessä on suoran kulmakerroin.

Erotusosamäärä ja sen raja-arvo

Tarkastellaan jatkuvaa funktiota \(f(x)\). Sen arvo muuttujan arvolla \(x\) on luonnollisesti \(f(x)\). Kun muuttujan arvoa kasvatetaan (tai pienennetään) hyvin pienen muutoksen \(\Delta x\) verran arvoon \(x+\Delta x\), niin funktio saa jonkin arvon \(f(x+\Delta x)\).

Funktion arvon ja muuttujan arvon muutoksen suhde voidaan kirjoittaa:

\(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{x+\Delta x -x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)

Edellistä lauseketta sanotaan funktion erotusosamääräksi. Funktion muutosnopeus missä tahansa funktion määrittelyjoukkoon kuuluvassa pisteessä \(x\) saadaan nyt erotusosamäärän raja-arvona, kun muuttujien etäisyys \(\Delta x\) kutistetaan nollaan. Tätä erotusosamäärän raja-arvoa nimitetään funktion derivaataksi.

Derivaattaa merkitään tavallisimman heittomerkillä: funktion \(f(x)\) derivaatta on \(f'(x)\). Muita yleisiä merkintätapoja ovat \(D f(x)\) ja \(\frac{\text{d}f}{\text{d}x}\).

Käyttämällä derivaatalle merkintää \(f'(x)\) voidaan kirjoittaa minkä tahansa jatkuvan funktion derivaatalle laskukaava seuraavasti:

\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)

Esimerkki

Määritä funktion \(f(x)=x^2+3x\) derivaattafunktio \(f'(x)\).

Ratkaisu

Muodostetaan erotusosamäärän raja-arvo:

\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{((x+\Delta x)^2+3(x+\Delta x))-(x^2+3x)}{\Delta x}\)

Sievennetään osoittajaa avaamalla potenssilaskun sulut ja vähennyslaskun sulut:

\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+3x+3\Delta x -x^2-3x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^2+2x\Delta x+3\Delta x}{\Delta x}\)

Luvun \(\Delta x\) paikalle ei voida suoraan sijoittaa lukua 0, sillä tällöin murtolausekkeen nimittäjäksi tulisi nolla. Voidaan kuitenkin supistaa murtolauseke luvulla \(\Delta x\):

\(\frac{(\Delta x)^2+2x\Delta x+3\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x+2x+3}{1} = \Delta x + 2x +3\)

Nyt voidaan laskea raja-arvo:

\(f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \Delta x + 2x +3 = 2x+3\).

Funktion derivaatta on siis \(f'(x)=2x+3\). Funktion muutosnopeus missä tahansa määrittelyjoukon pisteessä \(x\) saadaan sijoittamalla tähän lausekkeeseen haluttu muuttujan arvo. Esimerkiksi pisteessä \(x=1\) funktion \(f(x)\) muutosnopeus on \(f'(1)=2\cdot 1 +3 = 5\).