Pyörähdyskappaleet

Tarkastellaan vielä erityistapauksena määrätyn integraalin sovelluksista pyörähdyskappaleen tilavuutta ja pinta-alaa. Pyörähdyskappale on jokin kolmiulotteinen muoto, joka on saatu aikaan siten, että jonkin funktion kuvaaja pyörähtää $x$-akselin ympäri. Funktion kuvaaja muodostaa siten kappaleen seinät.

Tilavuus

Kun funktion kuvaaja pyörähtää $x$-akselin ympäri, niin joka kohtaan muodostuu ympyrä, jonka säde on funktion arvo $f(x)$. Oheisessa kuvassa on esitetty pyörähdyskappaleen poikkileikkaukset kohdissa $x_1$ ja $x_2$. Kohdassa $x_1$ poikkileikkausta vastaavan ympyrän säde on $f(x_1)$, kohdassa $x_2$ poikkileikkausta vastaavan ympyrän säde on $f(x_2)$. Yleisesti pisteessä $x_i$ ympyrän pinta-ala on $A_i=\pi f(x_i{)}^2$.

Oletetaan, että kappaleen seinämät muodostava funktio alkaa pisteestä $x=a$ ja päättyy pisteeseen $x=b$. Kun lasketaan koko pyörähdyskappaleen tilavuutta $V$, niin kappale jaetaan äärettömän moneen, äärettömän ohueen viipaleeseen. Jokaisen viipaleen pinta-ala vastaa ympyrää, jonka säde on funktion arvo tietyssä pisteessä. Jokaisen ympyrän paksuudeksi ajatellaan hyvin pieni muutos vaaka-akselilla, $\text{d}x$. Äärettömän monta kappaletta äärettömän ohuita viipaleita saadaan laskemalla integraali:

${\int }_a^b\pi f(x{)}^2\text{d}x$

Esimerkki

Kartion tilavuuden laskukaava on $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$, missä $r$ on kartion pohjaympyrän säde ja $h$ on kartion korkeus. Johda tilavuuden laskukaava integroimalla. Kuvassa on esitetty kartion seinämän muodostavan funktion kuvaaja. Kartio on kyljellään siten, että sen kärki on pisteessä (0,0).

Ratkaisu

Muodostetaan ensin funktion $f(x)$ lauseke. Kartion seinämän etäisyyttä kartion korkeusjanasta (kuvaajan $x$-akselista) kuvaa suora muotoa $y=ax+b$. Koska kärki on origossa, niin leikkausvakio on $b=0$. Kulmakertoimeksi saadaan

$a=\frac{r-0}{h-0}=\frac{r}{h}$.

Funktio on siis $f(x)=\frac{r}{h}x$, ja tilavuuden laskukaavassa tarvittava $f(x{)}^2=\frac{r^2}{h^2}{x}^2$.

Lasketaan määrätty integraali pisteestä $x=0$ pisteeseen $x=h$:

$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^h\pi \frac{r^2}{h^2}{x}^2\text{d}x=\pi \frac{r^2}{h^2}{\int }_0^h{x}^2\text{d}x\\ & =\pi \frac{r^2}{h^2}(\frac{1}{3}{h}^3-\frac{1}{3}{0}^3)\\ & =\pi \frac{r^2}{h^2}\cdot \frac{1}{3}{h}^3=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\end{array}$

Esimerkki

Laske pyörähdyskappaleen tilavuus, kun sitä rajoittaa käyrä $f(x)=e^x$ välillä $0\le x\le 2$.

Ratkaisu

$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^2\pi (e^x{)}^2\text{d}x\\ & =\pi {\int }_0^2{e}^{2x}\text{d}x\\ & =\pi \cdot (\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 2}-\frac{1}{2}{e}^{2\cdot 0})\\ & =\frac{\pi }{2}(e^4-e^0)=\frac{\pi }{2}(e^4-1)\approx 84.2\end{array}$

Pinta-ala

Pyörähdyskappaleen pinta-ala lasketaan samalla periaatteella kuin tilavuus: jakamalla kappale äärettömän moneen, hyvien ohueeseen kiekkoon, joiden säteet ovat funktion arvoja. Pinta-alan ajatellaan siis muodostuvan äärettömän monesta hyvin kapeasta “vyöstä”, jotka kiertävät pyörähdyskappaleen ympäri.

Kun pyörähdyskappaletta rajoittaa funktio $f(x)$ välillä $x_1\le x\le x_2$, niin pyörähdyskappaleen pinta-ala on

$A=2\pi {\int }_{x_1}^{x_2}|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}\text{d}x$