Puolisuunnikassääntö#

Puolisuunnikassääntö on eräs numeerisen integroinnin menetelmä. Numeerinen integrointi tarkoittaa tässä yhteydessä sitä, että lasketaan funktion määrätyn integraalin arvo, vaikka funktion lauseke ei ole tiedossa. Menetelmää voi käyttää myös silloin, kun funktion lauseke on sellainen, että sitä on vaikeaa tai mahdotonta integroida.

Puolisuunnikassäännön periaate

Aloitetaan jakamalla tuntemattoman funktion f(x) kuvaajan ja x-akselin jäävä alue välillä x1x2 yhtä leveisiin osiin. Jos osia on n kappaletta, niin jokaisen osan leveys on

h=x2x1n.

Approksimoidaan funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jääviä alueita A1,A2,An puolisuunnikkaina. Puolisuunnikkaan Ai vasemman reunan korkeus on f(x1+(i1)h) ja oikean reunan korkeus on f(x1+ih). Siis esimerkiksi alueen A1 vasemman reunan korkeus on f(x1) ja oikean reunan korkeus on f(x1+h).

Edelleen voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan Ai pinta-ala: Ai=f(x1+(i1)h)+f(x1+ih)2h

Koko alueen pinta-ala, eli määrätty integraali välillä x1xx2, saadaan summana kaikkien puolisuunnikkaiden pinta-aloista: Σi=1nAi.

Tietokoneella laskettaessa puolisuunnikkaita voi olla hyvinkin suuri määrä, sillä pinta-alojen laskun voi automatisoida. Valmiitakin työkaluja puolisuunnikassäännön käyttöön on olemassa. Seuraavissa esimerkeissä puolisuunnikkaita on vain muutamia. Mitä useammalla puolisuunnikkalla aluetta approksimoidaan, sitä lähemmäs todellista arvoa laskussa päästään.

Esimerkki

Laske määrätty integraali 15x dx puolisuunnikassäännöllä. Käytä osavälien leveytenä 1 yksikköä. Vertaa tulosta määrätyn integraalin tarkkaan arvoon.

Esimerkki

Kappaleen nopeutta mitattiin puolen sekunnin välein, ja saatiin seuraavat tulokset:

t (s)

0

0.5

1.0

1.5

2.0

v (m/s)

0

5.0

8.56

11.18

13.23

Laske matka, jonka kappale liikkui aikavälillä 0…2 sekuntia. Matka on nopeuden integraalifunktio.