Kymmenpotenssiesitys

Edellisessä kappaleessa tutustuttiin suureisiin ja yksiköihin. Arjessa esiintyy yksiköitä, joilla on erilaisia etuliitteitä: kilometri, megawattitunti, millilitra, gigahertsi… Kyseiset etuliitteet ovat sanallisia vastineita kymmenpotenssikertoimille. Ne ovat hyödyllisiä, kun täytyy esittää hyvin monta numeroa sisältäviä suureiden arvoja.

Esimerkiksi suureiden 0.00000048 m ja 50 895 400 103 Hz suuruusluokkaa on vaikea hahmottaa. Suureissa esiintyvät hyvin suuret tai hyvin pienet luvut pyritään esittämään siten, että luku koostuu kertoimesta ja kymmenpotenssiluvusta.

Kymmenpotenssiluku tarkoittaa lukua \(10^n\), missä luku \(n\) on jokin positiivinen tai negatiivinen kokonaisluku. Luku \(n\) on nimeltään eksponentti, ja se kertoo, kuinka monta kertaa kerroin pitää kertoa tai jakaa kymmenellä.

• Positiivisen eksponentin tapauksessa kerrotaan: \(3\cdot 10^4 = 3\cdot 10\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 30000\).

• Negatiivisen eksponentin tapauksessa jaetaan: \(5\cdot 10^{-2} = \frac{5}{10\cdot 10} = 0.05\).

Suureiden arvot pyritään esittämään siten, että kertoimen lukuarvo olisi suunnilleen 1-100 tai 1-1000 välillä. Lisäksi vakiintunut käytäntö on, että käytetään kymmenpotensseja, joissa eksponentti on kolmella jaollinen. Tällaisilla kymmenpotensseilla on nimittäin vakiintuneet sanalliset vastineet. Niillä on myös omat lyhenteet.

• Suuret luvut: \(10^3\) kilo (lyhenne k), \(10^6\) mega (M), \(10^9\) giga (G), \(10^{12}\) tera (T), jne.

• Pienet luvut: \(10^{-3}\) milli (m), \(10^{-6}\) mikro (µ), \(10^{-9}\) nano (n), jne.

• Lisäksi: \(10^{-2}\) sentti (c), \(10^{-1}\) desi (d), ja muitakin

Laskin ei välttämättä anna vastausta suoraan toivotussa muodossa. Kymmenpotenssikertoimen eksponenttiosan suuruutta voi muuttaa seuraavilla säännöillä:

• aina kun eksponentti pienenee yhdellä, pitää kerroinosa kertoa kymmenellä (siirretään pilkkua oikealle)

• aina kun eksponentti kasvaa yhdellä, pitää kerroinosa jakaa kymmenellä (siirretään pilkkua vasemmalle)

• jos eksponenttiosaa ei ole ollenkaan, voidaan sen tilalle aluksi kirjoittaa \(10^0\)

Esim. \(0.00000048~\text{m}=0.00000048\cdot 10^0~\text{m}=4.8\cdot 10^{-7}~\text{m}\) tai \(0.48\cdot 10^{-6}~\text{m} = 0.48~\mu\text{m}\) tai \(480\cdot 10^{-9}~\text{m} = 480~\text{nm}\)

Esim. \(50 895 400 103~\text{Hz} \approx 50.9\cdot 10^9~\text{Hz} = 50.9~\text{GHz}\)

Esimerkki

Muuta seuraavat suureet sellaiseen kymmenpotenssimuotoon, että voit käyttää etuliitettä (mikro, milli, kilo jne.) ja että kymmenpotenssin edessä oleva luku on suuruudeltaan noin 1-1000.

a) 585 602 500 mg

b) 0.6368 THz

Ratkaisu

a) \(585 602 500~\text{mg}=585 602 500\cdot 10^{-3}~\text{g}≈585.6\cdot 10^3~\text{g}=585.6~\text{kg}\)

b) \(0.6368~\text{THz}=0.6368\cdot 10^{12}~\text{Hz}=636.8 \cdot 10^9~\text{Hz}=636.8~\text{GHz}\)

Huomautus

Etuliitteitä voi käyttää apuna pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien muunnoksissa, kun ne muutetaan kymmenpotenssivastineikseen. Esimerkkejä:

a) 1 senttimetri metreinä on yksinkertaisesti \(1~\text{cm}=1\cdot 10^{-2}~\text{m} = 0.01~\text{m}\)

b) 1 neliösenttimetri neliömetreinä on \((1~\text{cm})^2 = (1\cdot 10^{-2}~\text{m})^2 = 1\cdot 10^{-4}~\text{m}^2\)

c) 0.005 kuutiometriä muutetaan kuutiosenttimetreiksi:

\(0.005~\text{m}^3 = x\cdot (10^{-2}~\text{m})^3\)

\(0.005~\text{m}^3 = x\cdot 10^{-6}~\text{m}^3\)

\(x=\frac{0.005}{10^{-6}} = 5000\)