Ympyräliike

Olkoon ympyrän säde \(r\) (m) ja ympyräradalla liikkuvan kappaleen nopeus \(v\) (m/s). Koska ympyrän kehän pituus on \(2\pi r\), niin yhteen kierrokseen kuluvalla ajalla eli kierrosajalla \(T\) (s), säteellä \(r\) ja nopeudella \(v\) on yhteys

\(v=\frac{2\pi r}{T}\)

Lisäksi voidaan määritellä

• kierrostaajuus \(f=\frac{1}{T}\) (yksikkö \(\frac{1}{s}\) eli hertsi, Hz), joka kertoo kuinka monta kierrosta sekunnissa edetään,

• kulmataajuus \(\omega=\frac{2\pi}{T}\), joka kertoo kuinka suuren kulman ympäri kappale kiertää sekunnissa.

Kulmaa mitataan radiaaneina. Kulmataajuus voidaan esittää myös sijoittamalla \(f=\frac{1}{T}\), jolloin kulmataajuudeksi tulee \(\omega=2\pi f\).

Esimerkki

a) Polkupyörän takapyörän säde on \(r=0.35~\text{m}\). Pyöräilijä ajaa nopeudella 20 km/h. Paljonko on renkaan pyörähdysaika, kierrostaajuus ja kulmataajuus?

b) Paljonko pitäisi olla kierrostaajuuden, jotta pyöräilijä liikkuisi kävelynopeudella 5 km/h? Entä paljonko pitäisi olla pyörän säteen, jotta tämä kierrostaajuus riittäisi nopeuteen 20 km/h?

Ratkaisu

a) Nopeuden määritelmästä saadaan ratkaistua pyörähdysaika

\(T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \cdot 0.35~\text{m}}{20/3.6~\text{m/s}}\approx 0.396~\text{s}\)

Kierrostaajuudeksi saadaan \(f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.396~\text{s}}\approx 2.53~\frac{1}{\text{s}}\)

ja kulmataajuudeksi \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0.396~\text{s}} = 15.9~\frac{1}{\text{s}}\) tai \(2\pi f=2\pi\cdot 2.53~\frac{1}{\text{s}} = 15.9~\frac{1}{\text{s}}\).

b) Nopeuden määritelmään \(v=\frac{2\pi r}{T}\) voidaan sijoittaa taajuuden määritelmä \(f=\frac{1}{T}\). Tällöin nopeuden laskukaavaksi muodostuu \(v=2 \pi r f\), josta voidaan ratkaista \(f=\frac{v}{2\pi r}\), siis

\(f=\frac{5/3.6~\text{m/s}}{2\pi \cdot 0.35~\text{m}}\approx 0.63~\frac{1}{\text{s}}\).

Jos poljettaisiin tällä taajuudella siten, että nopeus olisi 20 km/h, niin renkaan säteen tulisi olla

\(r=\frac{20/3.6~\text{m/s}}{2\pi\cdot 0.63~\text{1/s}}\approx 1.4~\text{m}\).