Binomijakauma

Eräs diskreeteistä todennäköisyysjakaumista on binomijakauma. Oletetaan, että suoritetaan toistokoe, jonka “onnistumisen” todennäköisyys on aina (riippumatta edellisistä tuloksista) \(p\) ja “epäonnistumisen” todennäköisyys \(1-p\). Käsitteillä “onnistuminen” tai “epäonnistuminen” tarkoitetaan tässä mitä tahansa tapahtumia \(A\) ja \(B\), jotka ovat toisensa poissulkevia ja joista jompikumpi varmasti tapahtuu. Tällöin satunnaismuuttuja \(X\), joka kuvaa onnistumisten lukumäärää \(n\) toistossa, noudattaa binomijakaumaa. Tätä merkitään \(X \sim \text{Bin}(n,p)\).

Todennäköisyys sille, että \(n\) toistossa onnistutaan \(k\) kertaa, on

\(P(k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)

Kertauksena kombinatoriikasta: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Kyseinen laskukaava on binomijakauman tiheys- tai todennäköisyysfunktio. Excelissä binomitodennäköisyys voidaan laskea funktiolla BINOMI.JAKAUMA. Funktioon täytyy antaa parametriksi myös se, lasketaanko todennäköisyyttä \(P(X=a)\) vai \(P(x \leq a)\). Laskun voi tietenkin suorittaa myös KOMBINAATIO-funktiota ja sopivia kertolaskuja yhdistelemällä.

Esim. Laske todennäköisyys sille, että saadaan kolmella nopanheitolla 2 kuutosta.

Ratkaisu

Nyt yritysten määrä on \(n=3\), ja onnistumisten määrä on \(k=2\). Yksittäisessä yrityksessä onnistumisen, eli kuutosen, todennäköisyys on 1/6, ja epäonnistumisen, eli muun kuin kuutosen, todennäköisyys on 5/6. Todennäköisyys kahdelle kuutoselle on siis

\(\binom{3}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(1-\frac{1}{6}\right)^{(3-2)}=\frac{3!}{2!1!}\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{5}{6}=\frac{3}{36}\cdot {5}{6}=0.069 = 7~\%\)

Esim. Oletetaan, että tyttölapsen syntymisen todennäköisyys on 49 %. Laske todennäköisyys sille, että viisilapsisen perheen a) kaikki lapset ovat tyttöjä, b) lapsista 3 on poikia ja 2 tyttöjä.

Ratkaisu

Merkitään \(X\) = tyttöjen lukumäärä. Toistojen määrä on \(n=\)5 ja kysytyn lopputuloksen todennäköisyys yhdessä toistossa on \(p=0.49\). Tällöin \(X \sim \text{Bin}(5,0.49)\).

a) Tässä tilanteessa binomikerroin on \(\binom{5}{5}=1\), sillä on vain yksi mahdollinen kombinaatio, jolla viisi viidestä voi olla tyttöjä. Todennäköisyys voidaan siis laskea suoraan seuraavasti:

\(P(\text{5 tyttöä})=0.49^5\cdot 0.51^0 = 2.8~\%\)

b) \(P(\text{2 tyttöä})= \binom{5}{2}\cdot 0.49^2\cdot 0.51^3=31.8~\%\)

Binomijakamastakin voidaan laskea “ainakin” tai “enintään” -tyyppisiä todennäköisyyksiä. Tällöin tarvitaan kertymäfunktiota. Kun kysytään todennäköisyyttä muodossa “ainakin”, kannattaa muistaa komplementtiperiaate.

Esim. Tuotteen valmistusprosessissa on seurannassa havaittu, että 0.25 % valmistuneista tuotteista on jollakin lailla viallisia. Asiakas ostaa 1500 kappaleen erän ko. tuotteita. Millä todennäköisyydellä

a) erässä on korkeintaan yksi viallinen tuote? b) erässä on ainakin yksi viallinen tuote?

Ratkaisu

Satunnaismuuttuja \(X\) kuvaa viallisten tuotteiden määrää 1500 kappaleen erässä.

a) \(P(\text{"korkeintaan 1 viallinen"}) = P(X=0~\text{tai}~X=1)\)

Kyseessä on siis kertymäfunktio \(F(1)\), joka määrittelee todennäköisyyden enintään yhdelle vialliselle tuotteelle. Voidaan myös laskea tiheysfunktion arvot 0 ja 1 vialliselle ja laskea ne yhteen, sillä kertymäfunktion arvohan lasketaan juuri tällä tavalla tiheysfunktion arvojen summana.

Excel: BINOMI.JAKAUMA(1;1500;0,0025;1), vastaus 0.111

tai: BINOMI.JAKAUMA(0;1500;0,0025;0) + BINOMI.JAKAUMA(1;1500;0,0025;0)

b) Nyt kannattaa käyttää komplementtiperiaatetta, sillä muuten pitäisi erikseen laskea todennäköisyys yhdelle, kahdelle, kolmelle, … 1500:lle vialliselle tuotteelle.

\(P(\text{"ainakin 1 viallinen"}) = 1-P(\text{"ei yhtään viallista"}) = 1- P(X=0) = 1-F(0)\)

Excel: 1-BINOMI.JAKAUMA(0;1500;0,0025;0), vastaus 0.977

Binomijakauman odotusarvo ja varianssi lasketaan seuraavasti:

\(\mu=np\), \(\sigma^2=np(1-p)\)

Esim. Heitetään kolmea noppaa. Satunnaismuuttuja \(X\) ilmoittaa kuutosten lukumäärän. Laske muuttujan odotusarvo ja varianssi.

Ratkaisu

Satunnaismuuttuja \(X\) noudattaa binomijakaumaa, missä toistokokeiden lukumäärä on 3, tapahtuma \(A\) on ”nopan pisteluku on 6” ja tapahtuman \(A\) todennäköisyys yhdessä toistokokeessa on \(p=\frac{1}{6}\).

Siis \(X \sim \text{Bin}(3, \frac{1}{6})\)

Odotusarvo on \(\mu=3\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)

Varianssi on \(\sigma^2=3\cdot \frac{1}{6}\cdot (1-\frac{1}{6})=\frac{5}{12}\)