Funktio mallina

Erilaisia lausekkeita ja niistä muodostettuja yhtälöitä voi ajatella myös matemaattisina malleina eri ilmiöille. Esimerkiksi viruksen leviämistä voidaan kuvata tietynlaisella yhtälöllä, joka yhdistää ajan kulumisen ja virukseen sairastuneiden henkilöiden määrän. Tällöin kyseinen yhtälö toimii matemaattisena mallina virusepidemialle. Tarkastellaan seuraavissa luvuissa kolmea erilaista yhtälötyyppiä, joiden avulla voidaan mallintaa yksinkertaisia ilmiöitä. Tässä yhteydessä yhtälöistä käytetään usein myös nimeä funktio.

Funktion käsite

Funktio \(f(x)\) on lauseke, joka yhdistää jokaisen määrittelyjoukkonsa lukuun \(x\) jonkin toisen luvun. Esimerkiksi \(f(x)=3x+1\) on lauseke, johon voidaan luvun \(x\) paikalle sijoittaa jokin luku ja laskea vastaava funktion arvo. Jos esimerkiksi \(x=2\), niin saadaan funktiolle arvo \(f(2)=3\cdot 2 + 1=7\).

Määrittelyjoukko tarkoittaa niitä lukuja, jotka funktion lausekkeen voi sijoittaa - tai jotka siihen on mielekästä sijoittaa - luvun \(x\) paikalle. Usein määrittelyjoukko muodostuu kaikista reaaliluvuista, mutta ei aina. Esimerkiksi lausekkeeseen \(f(x)=\frac{2x}{x-3}\) ei voida sijoittaa lukua \(x=3\), sillä tällöin murtoluvun nimittäjään tulisi \(3-3=0\), eikä luvulla 0 jakamista ole määritelty. Jos taas funktio kuvaa esimerkiksi koiranpennun painon kehitystä, kun pennun ikä viikkoina mitattuna on \(x\), ei ole mielekästä sisällyttää määrittelyjoukkoon negatiivisia eikä kovin suuria positiivisia lukuja.

Arvojoukko tarkoittaa niitä lukuja, jotka funktiosta voidaan saada tuloksiksi, kun lausekkeeseen sijoitetaan kaikki määrittelyjoukon luvut. Arvojoukkokin voi joskus sisältää kaikki reaaliluvut. Toisaalta esimerkiksi funktio \(f(x)=2x^2+3\) ei millään luvun \(x\) arvolla voi tuottaa lukua 3 pienempiä arvoja, sillä olipa luku \(x\) mikä tahansa, niin toiseen potenssiin korotettuna se on aina vähintään 0. Tämän funktion arvojoukko koostuu siis luvusta 3 ja kaikista sitä suuremmista luvuista.

Funktioiden yleisiä ominaisuuksia tarkastellaan enemmän opintojaksolla Differentiaali- ja integraalilaskenta.