Suoraan ja kääntäen verrannollisuus

Verrannollisuus on käsite, jota tarvitaan mittakaavoissa, kuten kartoissa ja rakennuspiirustuksissa. Sen avulla voidaan vastata myös esimerkiksi seuraavanlaisiin kysymyksiin:

• Kolme kiloa mangoja maksaa 6.90 €. Paljonko maksaa viisi kiloa samoja mangoja?

• Säiliön tyhjentäminen kestää 4 h ja 30 min, kun tyhjennyspumpun teho on 200 l/min. Kauanko tyhjentäminen kestää pumpulla, jonka teho on 120 l/min?

Verrannossa on kaksi toisistaan riippuvaa asiaa. Niitä merkitään usein kirjaimilla \(x\) ja \(y\). Muuttujat \(x\) ja \(y\) voivat riippua toisistaan kahdella eri tavalla:

• Kun \(x\) kasvaa, niin myös \(y\) kasvaa. Tällöin kyseessä on suoraan verrannollisuus. Esimerkiksi kilohinnalla ostettujen hedelmien kokonaishinta \(y\) varmasti kasvaa, jos ostettujen hedelmien määrä \(x\) kasvaa.

• Kun \(x\) kasvaa, niin \(y\) pienenee. Tällöin kyseessä on kääntäen verrannollisuus. Esimerkiksi jos säiliötä tyhjentävän pumpun teho \(x\) kasvaa, niin säiliön tyhjentämiseen kuluva aika \(y\) pienenee.

Suoraan verrannollisuus

Suoraan verrannollisten muuttujien \(x\) ja \(y\) välinen riippuvuus on muotoa \(y=kx^n\), missä luku \(k\) on nimeltään verrannollisuuskerroin ja \(n\) on jokin positiivinen kokonaisluku. Kun \(x\) kasvaa, myös \(y\) kasvaa.

Riippuvuus muotoa \(y=kx\)

Yksinkertaisimmassa tapauksessa muuttujen \(x\) eksponentti on 1. Tällöin yhtälö on muotoa \(y=kx\).

Verrannollisuuskerrointa \(k\) ei välttämättä suoraan tiedetä. Se voidaan kuitenkin ratkaista yhtälöstä \(y=kx\), siis \(k=\frac{y}{x}\).

Ongelmien ratkaisussa hyödynnetään tietoa, että \(k\) on sama kaikille lukupareille \((x,y)\). Niinpä jos tiedetään yksi lukupari \((x_1,y_1)\), voidaan sen avulla selvittää ensin verrannollisuuskerroin \(k\) yhtälöstä \(y_1=k x_1\). Sen jälkeen voidaan toisesta lukuparista ratkaista \((x_2,y_2)\) jompikumpi muuttujista \(x_2\) tai \(y_2\) hyödyntämällä yhtälöä \(y_2=k x_2\).

Samantyyppinen ongelma voidaan ratkaista myös yhtälönä. Merkitään jälleen kahteen eri tilanteeseen liittyviä suureita \(x\) ja \(y\) alaindekseillä \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\). Koska verrannollisuuskerroin on \(k=\frac{y}{x}\) riippumatta \(x\):n ja \(y\):n arvoista, voidaan kirjoittaa \(k=\frac{y_1}{x_1}\) ja \(k=\frac{y_2}{x_2}\) ja edelleen \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\). Tähän yhtälöön voidaan sijoittaa tunnetut suureiden arvot ja ratkaista tuntematon.

Esimerkki

Eräässä kerrostalossa 80 neliömetrin kokoinen asunto maksaa 160 000 €. Oletetaan, että asunnon hinta \(y\) on suoraan verrannollinen asunnon kokoon \(x\). Kuinka paljon maksaisi 120 neliömetrin kokoinen asunto?

Ratkaisu

Koska asunnon hinta oletettavasti on sitä suurempi, mitä suurempi on asunnon koko, niin kyseessä ovat suoraan verrannolliset suureet. Tällöin asunnon hinta riippuu asunnon koosta yhtälön \(y=kx\) mukaisesti.

Ongelma voidaan ratkaista kahdella tavalla:

(1) Selvitetään verrannollisuuskerroin \(k\) tiedossa olevien suureiden avulla: \(k=\frac{y}{x}=\frac{160000~€}{80~\text{m}^2}=2000~\text{€/m}^2\).

Nyt voidaan laskea toisen asunnon hinta sijoittamalla asunnon pinta-ala yhtälöön \(y=2000~\text{€/m}^2\cdot x\), siis \(y=2000~\text{€/m}^2\cdot 120~\text{m}^2=240000~€\).

(2) Merkitään tunnetun asunnon kokoa \(x_1=80~\text{m}^2\) ja hintaa \(y_1=160000~€\). Toisen asunnon koko on \(x_2=120~\text{m}^2\) ja hinta tuntematon \(y_2\). Ratkaistaan \(y_2\) yhtälöstä \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\):

\(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\)

\(y_2=\frac{x_2}{x_1} y_1\)

\(y_2=\frac{120~\text{m}^2}{80~\text{m}^2}\cdot 160000~€\)

\(y_2 = 240000~€\).

Riippuvuus muotoa \(y=kx^n, n > 1\)

Vaikka muuttujan \(x\) eksponentti \(n\) olisi jokin lukua 1 suurempi luku, edelleen verrannollisuuskerroin \(k\) pysyy samana, ja ongelmien ratkaisu tapahtuu samalla periaatteella kuin edellä. Verrannollisuuskerroin voidaan laskea \(k=\frac{y}{x^n}\). Vastaavasti voidaan ratkaista tuntematon muuttuja yhtälöstä \(\frac{y_1}{x_1^n}=\frac{y_2}{x_2^n}\).

Esimerkki

Auton jarrutusmatka pysähdykseen saakka riippuu olosuhteista, mutta on suoraan verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin. Eräällä tiellä jarrutusmatkaksi nopeudesta 40 km/h todettiin 16 m. Kuinka pitkä on jarrutusmatka samalla tiellä, jos alkunopeus onkin 70 km/h?

Ratkaisu

Nopeus tunnetussa tilanteessa on \(x_1=40\) km/h ja jarrutusmatka \(y_1=16\) metriä. Toisessa tilanteessa nopeus on \(x_2=70\) km/h ja jarrutusmatka tuntematon \(y_2\). Ratkaistaan \(y_2\) yhtälöstä \(\frac{y_1}{x_1^2}=\frac{y_2}{x_2^2}\):

\(y_2=y_1 \frac{x_2^2}{x_1}^2= 16~\text{m}\cdot\frac{70^2}{40^2} = 49~\text{m}\).

Huomaa, että nopeuden yksikkö km/h on jätetty pois, sillä se supistuu pois, kunhan vain kumpikin nopeus on ilmoitettu samassa yksikössä. Fysiikan tehtävissä nopeudet yleensä muutetaan muotoon m/s, jolloin voidaan käyttää monia muitakin laskukaavoja. Tässä tapauksessa kuitenkin riittää tarkastella nopeuksien suhdetta, ja se on sama riippumatta siitä, missä yksikössä nopeudet on ilmaistu.

Esimerkki

Auton jarrutusjäljet olivat 32 metriä pitkät. Samoissa olosuhteissa todettiin, että jarrutusmatka nopeudesta 60 km/h on 22 metriä. Mikä oli jarrutusjäljet jättäneen auton nopeus ennen jarrutusta?

Ratkaisu

Nyt nopeus tunnetussa tilanteessa on \(x_1=60\) km/h ja jarrutusmatka \(y_1=22\) metriä. Toisessa tilanteessa nopeus on \(x_2\) on tuntematon ja jarrutusmatka on \(y_2=32\) metriä. Ratkaistaan \(x_2\) yhtälöstä \(\frac{y_1}{x_1^2}=\frac{y_2}{x_2^2}\):

\(x_2^2=x_1^2\frac{y_2}{y_1}\)

\(x_2=\sqrt{x_1^2\frac{y_2}{y_1}}\)

\(x_2=\sqrt{(60~\text{km/h})^2 \cdot \frac{32~\text{m}}{22~\text{m}}}\)

\(x_2 \approx 72~\text{km/h}\).

Kääntäen verrannollisuus

Kääntäen verrannollisten muuttujien suhdetta kuvaava yhtälö on \(y=\frac{k}{x^n}\). Kun \(x\) kasvaa, niin \(y\) pienenee. Ongelmat ratkeavat samaan tapaan kuin suoraan verrannollisuudessa, eli kirjoittamalla yhtälö, joka yhdistää lukuparit \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) verrannollisuuskertoimen \(k\) avulla.

Riippuvuus muotoa \(y=\frac{k}{x}\)

Yksinkertaisimmassa tapauksessa kääntäen verrannollisia suureita yhdistää yhtälö \(y=\frac{k}{x}\). Tällöin verrannollisuuskertoimeksi saadaan \(k=yx\). Lukupareille \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) pätee siis yhtälö \(x_1 y_1 = x_2 y_2\).

Esimerkki

Neljä henkilöä tekee työn 6 tunnissa. Paljonko aikaa kuluu kolmelta henkilöltä saman työn tekemiseen?

Ratkaisu

Merkitään työntekijöiden määrää \(x\) ja työhön kuluvaa aikaa \(y\). Kun työntekijöiden määrä kasvaa, niin työhön kuluva aika pienenee. Aika riippuu siis henkilömäärästä yhtälön \(y=\frac{k}{x}\) mukaisesti.

Verrannollisuuskerroin on tässä tapauksessa \(k=xy=4~\text{hlö}\cdot 6~\text{h}=24~\text{hlö}\cdot\text{h}\). Nyt voidaan sijoittaa verrannollisuuskertoimen arvo ja uusi henkilömäärä 3 yhtälöön \(y=\frac{k}{x}\):

\(y=\frac{24 \text{hlö}\cdot\text{h}}{3~\text{hlö}}=8~\text{h}\).

Toinen vaihtoehto on ratkaista yhtälö \(x_1 y_1 = x_2 y_2\), missä tunnetut lukuarvot ovat \(x_1=4\), \(y_1=6\) ja \(x_2=3\). Tuntematon aika \(y_2\) on

\(y_2=y_1\frac{x_1}{x_2}=6~\text{h}\frac{4~\text{hlö}}{3\text{hlö}}=8~\text{h}\).

Esimerkki

Uima-altaan täyttö pumppausnopeudella \(x_1=120\) litraa/min kestää \(y_1=4\) h. Kuinka kauan täyttäminen kestää pumpulla, jonka nopeus on \(x_2=210\) litraa/min?

Ratkaisu

Ratkaistaan tuntematon täyttöaika \(y_2\) yhtälöstä \(y_1 x_1=y_2 x_2\):

\(y_2 x_2=y_1 x_1 \leftrightarrow y_2= y_1 \frac{x_1}{x_2}\)

Sijoitetaan luvut: \(y_2 = 4~\text{h}\cdot \frac{120~\text{l/min}}{210~\text{l/min}}\approx 2.3~\text{h}=2~\text{h} ~18~\text{min}\).

Lopuksi voidaan laskea verrannollisuuskerroin, joka kuvaa uima-altaassa olevaa vesimäärää:

\(k=120~\text{l/min} \cdot 4~\text{h}=120 \text{l/min} \cdot 4\cdot 60~\text{min} \approx 29 000~\text{l}\)

tai

\(k=210~\text{l/min}\cdot 2~\text{h}~18~\text{min}=210~\text{l/min}\cdot 138~\text{min}\approx 29 000~\text{l}\).

Riippuvuus muotoa \(y=\frac{k}{x^n}, n > 1\)

Jos kääntäen verrannollisia suureita yhdistää yhtälö \(y=\frac{k}{x^n}, n> 1\), niin verrannollisuuskertoimeksi saadaan \(k=yx^n\). Lukupareille \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) pätee siis yhtälö \(x_1^n y_1 = x_2^n y_2\).

Esimerkki

Lampun valaistusvoimakkuus, jota mitataan lukseina (lux), on kääntäen verrannollinen etäisyyden toiseen potenssiin. Jos valaistusvoimakkuus kahden metrin päässä lampusta on 90 lux, paljonko se on viiden metrin päässä lampusta?

Ratkaisu

Merkitään tunnettua valaistusvoimakkuutta \(y_1=90~\text{lx}\), tunnettua etäisyyttä \(x_2=2~\text{m}\) ja toista etäisyyttä \(x_2=5~\text{m}\). Ratkaistaan tuntematon valaistusvoimakkuus \(y_2\) yhtälöstä \(x_1^2 y_1 = x_2^2 y_2\):

\(x_1^2 y_1 = x_2^2 y_2 \leftrightarrow y_2 = y_2 \frac{x_1^2}{x_2}^2 = 90~\text{lux}\cdot \frac{\left(2~\text{m}\right)^2}{\left(5~\text{m}\right)^2} = 14.4~\text{lx}\).

Esimerkki

Auringon säteilyn intensiteetti jollakin planeetilla on kääntäen verrannollinen planeetan etäisyyden toiseen potenssiin. Maan etäisyys auringosta on 1 AU (astronomical unit). Intensiteetti maapallolla on noin \(1400~\text{W/m}^2\). Millä etäisyydellä intensiteetti olisi kaksinkertainen maapallolle kohdistuvaan intensiteettiin verrattuna?

Ratkaisu

Merkitään maapallon etäisyyttä auringosta \(x_1=1~\text{AU}\) ja intensiteettiä \(y_1=1400~\text{W/m}^2\). Tehtävässä annettu intensiteetti on \(y_2=2\cdot 1400~\text{W/m}^2\). Ratkaistaan tuntematon etäisyys \(x_2\) yhtälöstä \(x_1^2 y_1 = x_2^2 y_2\):

\(x_1^2 y_1 = x_2^2 y_2\)

\(x_2^2 = x_1^2 \cdot \frac{y_1}{y_2}\)

\(x_2 = \sqrt{x_1^2\cdot \frac{y_1}{y_2}}\)

\(x_2 = \sqrt{(1~\text{AU})^2\cdot \frac{1400~\text{W/m}^2}{2\cdot 1400~\text{W/m}^2}}\)

Huomaa, että intensiteetin arvo yksiköineen supistuu pois yhtälöstä! Tehtävässä voitaisiin siis pelkästään kysyä, millä etäisyydellä intensiteetti kaksinkertaistuu, ilman tietoa siitä paljonko se maapallolla on. Vastaukseksi saadaan

\(x_2 = \sqrt{(1~\text{AU})^2\cdot \frac{1}{2}} \approx 0.71~\text{AU}\).

Etäisyys vastaa suunnilleen Venuksen sijaintia.