Potenssilausekkeet

Potenssilausekkeiden käsittelyä tarvitaan erilaisten laskusääntöjen johtamisessa ja monimutkaisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Monet laskinohjelmat osaavat käsitellä näitäkin lausekkeita, mutta on helpompaa pysyä mukana laajempien ongelmien ratkaisuissa, kun ymmärtää, miten lausekkeet voivat muuttua eri näköisiksi. Potenssilausekkeet ovat käytännöllisiä myös silloin, kun matemaattisia ongelmia halutaan esittää yleisissä tapauksissa, siis ilman, että jokaista lukuarvoa tarvitsee määritellä laskemista varten.

Pohdittavaksi

Neliön sivun pituus on \(3\) metriä. Kuinka moninkertaiseksi neliön pinta-ala muuttuu, jos neliön sivu kaksinkertaistuu? Ongelma on helppo, sillä neliön pinta-alan pystyy laskemaan sekä alkuperäisellä että uudella sivun pituudella. Entä, jos haluaisimmekin esittää ratkaisun yleisessä tapauksessa eli siten, että neliön sivun pituus voi olla mikä tahansa luku \(x\)?

Ratkaisu

Neliön alkuperäinen pinta-ala \(A_1\) on sivun pituuden \(x\) toinen potenssi, siis \(A_1=x^2\). Uuden sivun pituus on \(2x\). Tällöin uusi pinta-ala on \(A_2=(2x)^2=4x^2 = 4 A_1\). Ala siis nelinkertaistuu.

Pohdittavaksi

Tuulivoimalan tuottama sähköteho on fysiikan lakien mukaisesti verrannollinen tuulen nopeuden kolmanteen potenssiin. Millä tavalla sähköteho muuttuu, jos tuulen nopeus pienenee 10 prosenttia? Tällaiseenkin kysymykseen voi potenssilukujen laskusääntöjen avulla vastata, vaikka alkuperäisestä sähkötehosta tai tuulen nopeudesta ei olisi mitään tietoa.

Ratkaisu

Merkitään alkuperäistä tehoa \(P_1\) ja tuulen nopeutta \(v\). Matemaattisesti “teho on verrannollinen tuulen nopeuden kolmanteen potenssiin” voidaan kirjoittaa \(P_1=kv^3\), missä \(k\) on verrannollisuuskerroin. Kerroin \(k\) riippuu tuulivoimalan hyötysuhteesta, siivekkeen pituudesta ym. ominaisuuksista, eikä tässä tarvitse tietää sen lukuarvoa.

Uusi tuulen nopeus on 90 % alkuperäisestä eli \(0.9 v\). Tällöin uudeksi tehoksi tulee \(P_2=k\cdot(0.9 v)^3 = k\cdot 0.9^3 v^3 = 0.729 kv^3 = 0.729 P_1\). Teho siis pienenee noin 100 % - 73 % = 27 % riippumatta siitä, mikä alkuperäinen teho tai tuulen nopeus oli.

Määritelmä

Ilmaus ”\(a\) potenssiin \(n\)” eli \(a^n\) tarkoittaa kertolaskua \(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\), missä tekijöitä on \(n\) kappaletta. Lukua \(a\) kutsutaan kantaluvuksi. Se voi olla luku, kirjain tai jokin lauseke. Luku \(n\) on nimeltään eksponentti. Se on yleensä jokin kokonaisluku, mutta laskimet osaavat käsitellä myös sellaisia potenssilausekkeita, joissa eksponentti on desimaaliluku.

Esim. \(5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5=5^6\), \(8^3=8 \cdot 8 \cdot 8=512\)

Potenssiin korotus koskee sulkujen sisällä olevaa lukua tai lauseketta kokonaisuudessaan. Jos kantaluku on negatiivinen, niin laskun lopputulos on positiivinen silloin, kun eksponentti on parillinen luku, ja negativiinen silloin, kun eksponentti on pariton luku. Jos potenssiluvun edessä kuitenkin on miinusmerkki ilman sulkuja, niin miinusmerkki ei kuulu mukaan kantalukuun, vaan se otetaan mukaan potenssilaskun lopputuloksen kertoimeksi.

Esim. \((-2)^4=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=16\), mutta \(-2^4=-(2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) =-16\)

Esim. \((1+3)^2=(1+3) \cdot (1+3)= 4\cdot 4=16\)

Esim. \((x+1)^3\) ei ole sama kuin \((x^3+1^3)\)!!

Mille tahansa kantaluvulle \(a\) (paitsi nolla) on määritelty sääntö: \(a^0=1\). Säännön voi perustella seuraavaksi esiteltävillä potenssilukujen laskusäännöillä. Lisäksi on määritelty, että negatiivinen eksponentti muuttaa potenssiluvun käänteisluvukseen: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).

Esim. \(2^{-3}=\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)

Esim. \((-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{(-8)}=-\frac{1}{8}\)

Laskusäännöt

Potenssilausekkeille on olemassa seuraavat laskusäännöt:

1. Tulon potenssi on potenssien tulo: \((ab)^n=a^n \cdot b^n\)

Perustelu

Kirjoitetaan tulon \(ab\) potenssiinkorotus auki potenssiluvun määritelmän mukaisesti: \((ab)^n = ab\cdot ab\cdot \ldots \cdot ab\)

Kertolaskussa tulon tekijät järjestellä vapaasti. Kirjoitetaan siis kertolasku siten, että kaikki \(n\) kappaletta lukua \(a\) ovat laskussa ensin, ja perässä tulevat kaikki \(n\) kappaletta lukua \(b\).

\(ab\cdot ab\cdot \dots \cdot ab= a\cdot a\cdot \ldots \cdot a \cdot b \cdot b \cdot \ldots \cdot b\)

Nyt kertolaskun alussa on potenssiluvun määritelmän mukaisesti \(a^n\), ja lopussa \(b^n\). Lasku voidaan siis lyhyemmin kirjoittaa \(a^n \cdot b^n\).

Sama laskutoimitus voidaan siis laskea kahdella eri tavalla. Esimerkiksi \((4\cdot3)^2\) voidaan laskea joko laskemalla ensin tulo \(4\cdot 3 = 12\) ja korottamalla se sitten potenssiin \(2\), jolloin saadaan \(12^2=144\), tai korottamalla erikseen luvut \(4\) ja \(3\) toiseen potenssiin, ja kertomalla sitten nämä luvut keskenään: \(4^2\cdot 3^2=16\cdot 9=144\).

Usein tehtävien ratkaisujen välivaiheissa tarvitaan tätä sääntöä ilmaistuna vähän eri tavalla: tulon potenssiin korotuksessa kaikki tulon tekijät, eli suluissa olevat luvut tai kirjaimet, pitää korottaa eksponentin määräämään potenssiin.

Esim. \((2x)^3=2^3 \cdot x^3=8\cdot x^3\)

Esim. \(5(4z)^2=5 \cdot 4^2 \cdot z^2=5 \cdot 16 \cdot z^2=80z^2\)

Laskusäännön avulla voidaan myös muokata lausekkeita yksinkertaisemmiksi. Jos kertolaskun tekijöinä on lukuja, joilla on keskenään sama eksponentti, niin kaikki nämä luvut voidaan yhdistää yhdeksi kertolaskuksi ja korottaa yhteisen eksponentin määräämään potenssiin.

Esim. \(3^5\cdot x^2 \cdot y^5 = (3\cdot y)^5 \cdot x^2\)

Esim. \(x^2 y^2=(xy)^2\)

2. Osamäärän potenssi on potenssien osamäärä: \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)

Perustelu

Osamäärä \(\left(\frac{a}{b}\right)\) korotettuna potenssiin \(n\) tarkoittaa sitä, että kyseistä jakolaskua kerrotaan itsellään \(n\) kertaa. Voidaan siis kirjoittaa \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \ldots \cdot \frac{a}{b}\). Murtolukujen laskusääntöjen mukaisesti voidaan yhdistää murtolukujen kertolasku yhdeksi murtolausekkeeksi \(\frac{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}\). Nyt murtoluvun osoittajassa on potenssilaskun määritelmän mukaisesti \(a^n\) ja osoittajassa vastaavasti \(b^n\).

Laskusääntö toimii vastaavalla tavalla kuin tulon potenssi: suluissa olevan jakolaskun voi laskea ensin ja suorittaa potenssiin korotuksen sitten, tai osamäärän luvut voi erikseen korottaa potenssiin ja laskea osamäärän lopuksi. Esimerkiksi \(\left(\frac{36}{9}\right)^2\) voidaan laskea joko \(4^2=16\) tai \(\frac{36^2}{9^2}=\frac{1296}{81}=16\).

Usein tätä laskusääntöä tarvitaan tässä muodossa: kun jokin osamäärä korotetaan johonkin potenssiin, niin korotus tehdään sekä osoittajalle että nimittäjälle.

Esim. \(\left(\frac{x}{2}\right)^3=\frac{x^3}{2^3} =\frac{x^3}{8}\)

Laskusääntö toimii myös toisin päin: jos jakolaskussa on kaksi potenssilukua, joilla on sama eksponentti, niin jakolasku voidaan kokonaisuudessaan korottaa yhteisen eksponentin määräämään potenssiin.

Esim. \(\frac{y^2}{3^2} = \left(\frac{y}{3}\right)^2\)

Esim. \(\frac{2x^5}{8z^5} = \frac{2}{8} \frac{x^5}{z^5} = \frac{2}{8} \left(\frac{x}{z}\right)^5 = \frac{1}{4} \left(\frac{x}{z}\right)^5\)

3. Samankantaisten potenssilukujen kertolaskussa eksponentit lasketaan yhteen: \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)

Perustelu

Potenssiluku \(a^m\) tarkoittaa tuloa \(a\cdot a \cdot \ldots \cdot a\), jossa tekijöitä on \(m\) kappaletta. Vastaavasti luku \(a^n\) tarkoittaa tuloa \(a\cdot a \cdot \ldots \cdot a\), jossa tekijöitä on \(n\) kappaletta. Kun kertolaskut yhdistetään yhdeksi tuloksi, tekijöitä on yhteensä \(m+n\) kappaletta. Tällöin laskua voidaan merkitä lyhyemmin \(a^{m+n}\).

Laskusäännön avulla saadaan lausekkeita yksinkertaisempaa muotoon esimerkiksi yhtälöiden ratkaisua varten.

Esim. \(3^2 \cdot 3^3 \) voi laskea joko \(3^{2+3} = 3^5=243\) tai \(3^2 \cdot 3^3 = 9\cdot27=243\).

Esim. \(x^5 \cdot x^3=x^{3+5}=x^8\)

Esim. \((a+b)^{-2}\cdot (a+b)^2=(a+b)^{-2+2}=(a+b)^0=1\)

Laskusääntö kannattaa pitää mielessä sovellustehtävissä, joissa laskuissa pidetään mukana myös yksiköitä. Esimerkiksi jos on tarkoitus laskea kappaleen tilavuutta, pitäisi tuloksen yksiköksi tulla tilavuuden yksikkö kuutiometri \(\text{m}^3\). Tynnyrin muotoisen kappaleen, jonka pohjan halkaisija on \(d=0.6~\text{m}\) ja korkeus \(h=0.9~\text{m}\), tilavuus saadaan kaavalla \(\frac{\pi}{4} d^2 h\). Vai muistammekohan sittenkään kaavan oikein? Sijoittamalla annetut mitat saadaan \(\frac{\pi}{4} (0.6~\text{m})^2 \cdot (0.9~\text{m}) = \frac{\pi}{4}\cdot 0.6\cdot 0.9~\text{m}^2 \cdot \text{m} = \frac{\pi}{4}\cdot 0.6\cdot 0.9~\text{m}^3\), eli ainakin yksikön perusteella lasku on menossa oikein!

4. Samankantaisten potenssien jakolaskussa nimittäjän eksponentti vähennetään
osoittajan eksponentista: \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

Perustelu

Laskusääntö perustuu murtolukujen supistamiseen. Potenssilausekkeen \(\frac{a^m}{a^n}\) osoittajassa on \(m\) kappaletta lukua \(a\) kerrottuna itsellään ja nimittäjässa vastaavasti \(n\) kappaletta. Murtolauseke voidaan supistaa luvulla \(a\) kaikenkaikkiaan \(n\) kertaa. Tällöin nimittäjään jää \(m-n\) kappaletta lukua \(a\) ja nimittäjään jää vain vakio \(1\), toisin sanoen lauseke muuttuu muotoon \(\frac{a^{m-n}}{1}\). Lyhyemmin kirjoitettuna tämä on \(a^{m-n}\).

Laskusääntöä voi hyödyntää samanlaisissa tilanteissa kuin edellistä sääntöä.

Esim. \(\frac{4^3}{4^2}\) voidaan laskea joko \(\frac{64}{16}=4\) tai \(4^{3-2}=4^1=4\).

Esim. \(\frac{y^5}{y^7} = y^{5-7}=y^{-2}= \frac{1}{y^2}\)

5. Potenssiluvun potenssiinkorotuksessa eksponentit kerrotaan keskenään: \((a^m )^n=a^{mn}\)

Perustelu

Merkintä \((a^m)^n\) tarkoittaa tuloa, jossa lukua \(a^m\) kerrotaan itsellään \(n\) kertaa: \(a^m\cdot a^m \cdot \ldots \cdot a^m\). Jokaisessa tulontekijässä \(a^m\) on kertolaskussa \(m\) kpl lukuja \(a\). Niinpä lukua \(a\) kerrotaan itsellään kaikkiaan \(m\cdot n\) kertaa. Potenssiluvun määritelmän mukaan tämä voidaan lyhyemmin ilmaista \(a^{mn}\).

Esim. \((x^3)^{-2}=x^{3\cdot(-2)}=x^{-6}=\frac{1}{x^6}\)

Esim. \((10^3)^2=10^{3\cdot 2}=10^6\)

Esim. \((10^{-3})^{-4}=10^{-3\cdot(-4)}=10^{12}\)

Kymmenpotenssilukujen lyhenteet

Potenssien laskusäännöt voivat auttaa hyvin suurten ja hyvin pienten lukujen käsittelyssä. Sellaisia tulee eteen esimerkiksi fysiikan ongelmissa ja pinta-alojen tai tilavuuksien muunnoksissa.

Fysiikassa käytetään mm. seuraavia vakiintuneita lyhenteitä tietyille kymmenpotenssikertoimille:

nano (n): \(10^{-9}\)

mikro (µ): \(10^{-6}\)

milli (m) : \(10^{-3}\)

sentti (c): \(10^{-2}\)

desi (d): \(10^{-1}\)

kilo (k): \(10^3\)

mega (M): \(10^6\)

giga (G): \(10^9\)

Esimerkiksi pituus 5 mm tarkoittaa samaa kuin \(5\cdot10^{-3}\) m ja 6 km tarkoittaa samaa kuin \(6\cdot 10^3\) m. Lyhenteiden numerovastineita voidaan käyttää apuna yksikkömuunnoksissa. Esimerkiksi kämmenen pinta-ala, noin 20 neliösenttimetriä, voidaan muuttaa neliömetreiksi laskemalla \(20\cdot (10^{-2}~\text{m})^2 = 20 \cdot 10^{-4}~\text{m}^2\).

Esimerkkejä laskusääntöjen yhdistelystä

Esimerkki

Sievennä lauseke \(\left(\frac{6x}{3y}\right)^2\)

Ratkaisu

\(\Large{\left(\frac{6x}{3y}\right)^2=\frac{(6x)^2}{(3y)^2} =\frac{6^2 x^2}{3^2 y^2}=\frac{36x^2}{9y^2} =4 \frac{x^2}{y^2}}\)

Esimerkki

Sievennä lauseke \(\Large{\left(\frac{x^4 y^{-5}}{n^4 k^2}\right)^3 \cdot \frac{n^3 k^5}{(xy)^2}}\)

Ratkaisu

\(\Large{\frac{x^{12} y^{-15}}{n^{12}k^6} \cdot \frac{n^3 k^5}{x^2 y^2} = \frac{x^{12}}{x^2}\frac{y^{-15}}{y^2}\frac{n^3}{n^{12}}\frac{k^5}{k^6} = x^{10} y^{-17} n^{-9} k^{-1} = \frac{x^{10}}{y^{17}n^9 k}}\)

Esimerkki

Sievennä lauseke \(\Large{\frac{x^5 z}{z^6 x^3}}\)

Ratkaisu

\(\Large{\frac{x^5 z}{z^6 x^3}=\frac{x^5}{x^3} \frac{z}{z^6} = x^{5-3} z^{1-6} =x^2 z^{-5} = \frac{x^2}{z^5}}\)